Презентация по теме : "Правильные многогранники " (геометрия 8 класс)

Правильные многогранники

И всё что с ними связано

Выполнил ученик 10А класса- Коробейников Артём

Определение правильного многогранника

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:
он выпуклый;
все его грани являются равными правильными многоугольниками;
в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Платоновы тела

Тетраэдр

Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

Правильный тетраэдр

ОКТАЭДР

́Октаэдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα — «основание») — один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Икосаэдр

Икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Куб (др.-греч. κύβος) или правильный гексаэдр («правильный шестигранник» от др.-греч. ἑξάς— «шесть» и др.-греч. ἕδρα — «седалище, основание») — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

правильный гексаэдр

Додека́эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и греч. εδρον — грань) — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Геометрические свойства Многогранников

Углы:
С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Где

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект

при любой вершине правильного многогранника:

По теореме Декарта, он равен

делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (

стерадиан), делённому на число граней.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа

- Золотое сечение

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:
Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

1)Радиусы описанной

и вписанной

сфер задаются формулами:

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника.

2)Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). 3)Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

4) Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

5) Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Константы φ и ξ задаются выражениями:

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!