Поделиться
Правило умножения Перестановки размещения сочетания.ppt
Правило умножения, перестановки, размещения, сочетания
Определение
Задачи , решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций , называются комбинаторными.
Область математики, в которой изучают
комбинаторные задачи, называется
комбинаторикой.
Факториал
1 • 2 • 3 • … • n = n!
Факториа́л числа n (обозначается n!,
произносится эн факториа́л) — это
произведение всех натуральных чисел
до n включительно:
Факториал
4! = 1•2•3•4 = 24
3! = 1•2•3 = 6
6! = 1•2•3•4•5•6 = 720
Главное свойство факториала
(n+1)! = (n+1) • n!
Следствие
1! = 1
0! = 1
Несколько первых значений для n!:
1! = 1
2! = 1 ∙ 2 = 2
3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120
6! = 5! ∙ 6 = 720 и т. д.
Принято считать,
что 0 ! = 1
Пример 1
Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека - Антонов, Григорьев , Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
АГ, АС, АФ
ГС, ГФ
СФ
Значит, всего существует шесть вариантов выбора.
Способ рассуждений , которым мы воспользовались , называют перебором возможных вариантов.
Пример 2
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7,используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Решение: Чтобы ответить на вопрос задачи , выпишем все такие числа . Полученные результаты запишем в четыре строки , в каждой из которых шесть чисел:
135 137 153 157 173 175
315 317 351 357 371 375
513 517 531 537 571 573
713 715 731 735 751 753
Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на схеме
Такую схему называют деревом возможных вариантов.
Пример 2 (второй способ)
Первую цифру можно выбрать четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три , то вторую цифру можно выбрать уже тремя способами. Наконец , третью цифру можно выбрать двумя способами. Следовательно , общее число искомых чисел равно произведению 4*3*2,т.е.24.
Использовалось комбинаторное правило умножения.
Пример 2 (третий способ)
Комбинаторное правило умножения
Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1 · n2 · n3 · … · nk.
Правило умножения. |
Задачи
Задача № 1. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги , из города С до пристани-две дороги. Туристы хотят проехать из города А через В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
Задача № 2. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник - и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Построить дерево возможных вариантов.
Перестановки
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn .
Число перестановок рассчитывается по формуле:
Pn = 1·2·3·…·(n − 2)(n − 1)n
Pn = n!
Задача №1. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8 ?
Задача 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 ?
Задача 3. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения) таких, которые начинаются с цифры 3?
Размещения
Размещением из n элементов по k ( k ≤ n ) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из
n элементов.
Два размещения из n элементов считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.
Формула числа
размещений
Задача № 1. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
Задача №2. Сколько трехзначных чисел ( без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6?
Задача №3. Сколько трехзначных чисел ( без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6?
Сочетанием из n элементов по k (k ≤ n) называют
любую группу из k элементов, составленную
из данных n элементов.
Число сочетаний из n элементов по k обозначают
через
(по первой букве французского слова combination – сочетание).
Разница заключается в том, что если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение, а сочетание не зависит от порядка входящих в него элементов.
Сочетания
Сочетания
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
В сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Формула числа
сочетаний
Различия между перестановками, размещениями и сочетаниями
В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение.
В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга.
В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.
Задача №1. Сколькими различными способами из семи участников математического кружка можно составить команду из двух человек для участия в олимпиаде?
Задача №2. Сколькими способами можно присудить шести лицам три одинаковые премии?
Задача №3. Из 10 программистов нужно отобрать 4 для участия в проекте. Сколькими способами это можно сделать?
Домашняя работа
№1. Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
№2. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места 4 фотографии?
№3. Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
№4. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать? Построить дерево возможных вариантов.
№5. Сколькими способами можно присудить шести лицам три разные премии?
Задача. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет» и для начала стали выбирать 4 инструмента из 11, имеющихся на складе. Найти число возможных выборок.
Решение. Воспользуемся тем, что число всех сочетаний из n элементов по k элементов вычисляется по формуле
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
