Исследовательская работа по математике
Исследовательская работа по математике Признаки делимости Выполнила: ученица 6-б класса Берсанова Анастасия Руководитель: Горшенина Е.А.
ЧИСЛО- ЕСТЬ СУЩНОСТЬ ВСЕХ ВЕЩЕЙ
«ЧИСЛО- ЕСТЬ СУЩНОСТЬ
ВСЕХ ВЕЩЕЙ. ЧИСЛА ПРАВЯТ МИРОМ!»
Пифагор
Цель работы: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе
Цель работы: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.
Задачи исследования:
1.Изучить историю вопроса.
2.Повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, 100, 1000 изучаемые в школе.
3.Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 50, 59, 79, 99 и 101.
4.Изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел.
5.Систематизировать и обобщить признаки делимости натуральных чисел.
6.Рассмотреть применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.
Предмет исследования : делимость натуральных чисел
Предмет исследования: делимость натуральных чисел.
Методы исследования: сбор информации, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ.
Актуальность: При изучении на уроках математики темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, в особенности многозначное, получаем остаток, ошибаемся, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.
Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Изучение признаков делимости. Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному
1.Изучение признаков делимости.
Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.
Следствие из простейших свойств делимости: если сумма двух чисел и одно из слагаемых делится на некоторое число b, то другое слагаемое также делится на b.
Теорема о делимости произведения.
Если в данном произведении хоть один из сомножителей можно поделить на определенное число, то и все произведение будет делиться на это же число.
Признак делимости изучаемые в школе:
Признак делимости изучаемые в школе:
Признак делимости на 2:Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой или нулем.
Признак делимости на 3: Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 5:Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, то есть если она 0 или 5.
Признак делимости на 9:Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.
Признак делимости на 10, 100 и 1000 1
Признак делимости на 10, 100 и 1000
1. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается 0.
2. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается двумя последними нулями.
3. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда оно оканчивается последними тремя нулями.
Классификация признаков делимости
2.Классификация признаков делимости.
Признаки делимости можно разбить на три группы:
- делимость по последним цифрам числа;
- делимость по сумме цифр числа;
- делимость составных чисел.
Признаки делимости по последним цифрам числа
2.1. Признаки делимости по последним цифрам числа.
Признак делимости на 4. Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две его цифры образуют число, делящееся на 4.
Задача. Найдите шестизначное число х2014у, которое делится на 4 без остатка и цифры в его записи не повторяются.
Решение: Так как число делится на 4, то последняя цифра может быть 0, 4 или 8. Значит последняя цифра 8, т.к. 0 и 4 уже есть. Первой цифрой могут быть 3, 5, 6, 7 и 9.
Ответ: возможные числа 320148, 520148, 620148, 720148, 920148
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
Задача. Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 8, произведение цифр которого равно 16.
Решение: Так как число делится на 8, то три последних цифры должны составлять число кратное 8 (нуля в записи быть не может, т.к. произведение цифр будет равно нулю). Значит последние три цифры – это трехзначное число кратное 8, напрмер112, 128, 136, 144. 152. Произведение цифр должно быть равно 16, поэтому первой цифрой может 1 или 8.
Ответ: возможные числа 1128, 1144, 8112.
Признаки делимости чисел по сумме цифр чисел
2.2.Признаки делимости чисел по сумме цифр чисел
Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Задача. Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 11, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения.
Решение: Наименьшие двухзначные числа, которые в сумме дают число кратное 11 это числа 11,22,33 и т.д. Но учитывая второе условие число 1122 не подходит, т.к. сумма цифр равна 6, а их произведение равно 4. Разность - 2. Рассмотрим пару чисел 11 и 33. Сумма цифр равна 8, а их произведение равно 9. Разность составляет 1.
Ответ: возможные числа 3311, 1133, 3113, 1331.
Признаки делимости составных чисел
2.3.Признаки делимости составных чисел.
Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.
Правила делимости чисел:
• Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
• Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Признак делимости на 6. Число делится на 6, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его…
Признак делимости на 6. Число делится на 6, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).
Число 9384 делится на 6 так, как оно делится на 2 (оканчивается четной цифрой) и делится на 3 (сумма цифр числа 9+3+8+4=24, 2+4=6 делится на 3)
Признак делимости на 15. Число делится на 15, когда оно делится на 3 и на 5.
Число 1020 делится на 15, так как сумма всех цифр 1+ 2 = 3 делится на 3 и последняя цифра 0.
Признак делимости на 18. Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.
Число 414 делится на 18,так как последняя цифра 4 четная и сумма цифр 4 + 1 + 4 = 9 делится на 9.
Практическая часть. Задача 1 .Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 8, то полученная разность разделится на…
3. Практическая часть.
Задача 1.Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть 9, то полученная разность разделится на 9. Какое наименьшее из возможных чисел задумано?
Решение:
Задуманное число делится на 7, 8, 9. Наименьшим числом, делящимся на 7, 8 и 9, есть число 7*8*9 = 504.
Ответ: 504.
Задача 2 .В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок
Задача 2.В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?
Решение:
Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при счете дюжинами, оставалось 7 тарелок. Значит, число тарелок без делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.
Ответ: 547 тарелок.
Заключение Зная методы исследований признаков делимости натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости любых натуральных чисел
Заключение
Зная методы исследований признаков делимости натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости любых натуральных чисел.
Знание признаков делимости пригодится нам при подготовке к экзамену по математике в 11 классе (базовый уровень, задача № 19). Также эти признаки часто используются при решении олимпиадных задач, при нахождении общего знаменателя дробей, в алгебре – при решении уравнений в целых числах.
Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах.
Цели и задачи исследовательской работы полностью реализованы.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
