Презентация по теме "Условная вероятность" 10 класс

Проверка домашнего задания

1. Монету бросают дважды. Сколько равновозможных исходов у этого опыта?2. Кубик бросают дважды. Сколько равновозможных исходов у этого опыта?3. Одновременно подбрасывают монету и кубик. Сколько равновозможных исходов у этогоопыта?4. Из пакета, в котором 2 апельсина и 2 грейпфрута, выбирают наугад 2 фрукта. Сколько равновозможных исходов у этого опыта? Перечислите их.5. Из пакета, в котором 2 апельсина и 2 грейпфрута, выбирают наугад 3 фрукта. Сколько равновозможных исходов у этого опыта? Перечислите их. 6. Для каждого из следующих случайных опытов найдите число всех возможных исходов, число благоприятных исходов и вычислите вероятность указанного события. а) На столе 12 кусков пирога. В трёх «счастливых» из них запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога? б) В коробке 15 белых и 25 чёрных шаров. Из неё наугад вынимается один шар. Каковавероятность того, что он будет белым? в) Для школьной лотереи отпечатали 500 билетов, из них 25 выигрышных. Какова вероятность вытянуть билет без выигрыша?

Операции над событиями

10 класс

Операции над событиями 

любое случайное событие можно рассматривать как множество благоприятных для него исходов.

Достоверные и невозможные события

Так как множество Ω содержит все возможные исходы, то это событие происходит при любом исходе опыта, т. е. является достоверным событием. 
Пустое множество , наоборот, не содержит ни одного исхода, а значит, никогда не происходит и является невозможным событием. 

Пример 1. Бросают игральный кубик. Изобразим на диаграмме Эйлераслучайные события:А = «на кубике выпадет чётное число очков» = {2, 4, 6};B = «на кубике выпадет шестёрка» = {6};C = «на кубике выпадет простое число» = {2, 3, 5}. 
Поскольку в этом опыте все 6 исходов равновозможны, мы можемлегко найти вероятность каждого из трёх событий A, B, C, используяклассическое определение вероятности:P(A) = 3 6 3 3 6 6 3 6 = 1 2 1 1 2 2 1 2
P(B) = 1 6 1 1 6 6 1 6
P(C) = 3 6 3 3 6 6 3 6 = 1 2 1 1 2 2 1 2

Пример 2. Перед футбольным матчем «Спартак» — «Динамо» болельщики обсуждают шансы событий:А = «матч закончится вничью»;В = «Динамо» не забьёт ни одного гола»;С = «Спартак» выиграет».Возможным исходом матча здесь можно считать итоговый счёт:0:0, 1:0, 0:1, … .


Вместо традиционных кругов Эйлера мы изобразили события A, B, C в виде прямоугольников.
Так легче показать, что у событий A и C нет общих благоприятных исходов, а все исходы, благоприятные для B, лежат либо в A, либо в C.

Подведем итог

1. Как представить случайное событие в виде множества?2. Из каких исходов состоит множество A, соответствующее событию A = «на кубике выпадетбольше 3 очков»?3. Изобразите на диаграмме Эйлера все исходы опыта с подбрасыванием кубика и событияA = «выпадет больше 3 очков» и B = «выпадет меньше 5 очков». 

Противоположное событие 

Дополнением к событию A или противоположным к A событием называется событие A–, которое состоит из всех исходов, не содержащихся в A (т. е. неблагоприятныхдля A). Оно происходит всякий раз, когда не происходит A. 

Дополнение

Противоположное событие можно строить как дополнение 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 к множеству A, а можно с помощью логики, используя для этого высказывание 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 , противоположное для исходного высказывания A. 

В первом случае при построении отрицания пропущена важная частица «хотя бы», которая подразумевает не ровно один гол, а один и больше.Во втором случае не учтён ещё один возможный вариант неблагоприятного исхода — ничья. 

Вопросы

1. Какое событие называется противоположным к событию A? Как оно обозначается?2. Какое событие будет противоположным к событию 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 ?3. Опишите событие, противоположное к событию A = «в трёх бросаниях монеты выпадеттолько решка». Сколько исходов содержит событие A? событие 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 ?4. Опишите событие, противоположное к событию A = «при подбрасывании трёх кубиков ниразу не выпадет шесть очков». Сколько исходов содержит событие A? событие 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 ? 

Пересечение событий 

Пересечением двух событий A, B называют событие A B, которое состоит из всехисходов, благоприятных для обоих событий A и B. Оно происходит всякий раз, когдапроисходят сразу оба события A и B. 

Пример

Вернёмся к примеру с кубиком и найдём попарные пересечения событий:А = «выпадет чётное число очков» = {2, 4, 6};B = «выпадет шестёрка» = {6};C = «выпадет простое число» = {2, 3, 5}.A ∩ B = {6}, A ∩ C = {2}, B ∩ C = ∅.
Поскольку B ⊆ A, т. е. B является частью A, то пересечением A и B оказалось событие B. Пересечение событий B и C является пустым множеством, т. е. невозможным событием.
Для непересекающихся событий в теории вероятностей используется специальный термин — несовместные. 

События A и B называют несовместными, если их пересечение — пустое множество,т. е. является невозможным событием. Несовместные события не могут произойтиодновременно в одном случайном опыте. 

Объединение событий 

Объединением событий A и B называют событие A B, которое состоит из всехисходов, которые входят хотя бы в одно из этих событий (т. е. благоприятных хотябы для одного события). Оно происходит всякий раз, когда происходит хотя бы одноиз событий A или B. 

События, формулы и диаграммы 

Пример 1. Два стрелка делают по выстрелу в мишень. Даны два случайных события:A = «первый стрелок попадёт в мишень»;B = «второй стрелок попадёт в мишень».Выразим через них следующие случайные события:C = «оба стрелка попадут в мишень»;D = «хотя бы один из них попадёт в мишень»;E = «оба стрелка промахнутся»;F = «хотя бы один из них промахнётся».
Решение: Событие C означает, что произошли оба события A и B, поэтомуC = A B.Событие D происходит, когда происходит хотя бы одно из двух событий A или B, поэтому D = A∩ B.Чтобы произошло событие E, должны произойти одновременно 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 и B B B ,поэтому E = 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 ∩ B B B .
E = 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 ∩ B B B = 𝐴∪В 𝐴𝐴∪В 𝐴∪В . Мы видим, что событие E будет противоположнымк событию D: E = 𝐴∪В 𝐴𝐴∪В 𝐴∪В = 𝐷 𝐷𝐷 𝐷 .Аналогично получаем, что F = 𝐴 𝐴𝐴 𝐴 ∩ B B B = 𝐴∪В 𝐴𝐴∪В 𝐴∪В = С. С. С. 
Все четыре события C, D, E, F нам удалось выразить через исходные события A, B с использованием трёх операций .

Студенту предстоит сдать в ближайшую сессию три экзамена: по высшейматематике, по иностранному языку и по истории. Даны три случайныхсобытия:A = {студент сдаст экзамен по высшей математике};B = {студент сдаст экзамен по иностранному языку};C = {студент сдаст экзамен по истории}.Нужно выразить через них следующие события:D = {студент сдаст все экзамены};E = {студент не сдаст все экзамены};F = {студент сдаст не все экзамены};G = {студент сдаст хотя бы один экзамен};H = {студент сдаст хотя бы два экзамена}. 

Бросают игральный кубик. Изобразите на диаграмме Эйлера все возможные исходы этогоопыта и следующие случайные события:A = «выпадет тройка»;B = «выпадет нечётное число»;С = «выпадет больше трёх очков»;D = «выпадет не меньше четырёх очков». 

Бросают два кубика. Найдите события, противоположные к следующим событиям:A = «на первом кубике выпадет больше очков, чем на втором»;B = «хотя бы на одном из кубиков выпадет чётное число очков»;С = «одно из выпавших чисел будет делиться на другое»;D = «оба выпавших числа будут простыми».

Четыре раза подряд бросают монету. Найдите события, противоположные к следующимсобытиям, и посчитайте количество благоприятных для них исходов:A = «орлов и решек выпадет поровну»;B = «орлов выпадет больше, чем решек»;С = «орлов выпадет меньше, чем решек»;D = «ни разу не выпадет два орла подряд».

Баскетболист готовится выполнить три штрафных броска. За каждый точный бросок егокоманда получает одно очко. События A1, A2, A3 означают, что соответствующий бросок окажется точным. Выразите через эти события следующие события:B0 = «команда не получит ни одного очка»;B1 = «команда получит одно очко»;B2 = «команда получит два очка»;B3 = «команда получит три очка».

Задача 5.

Из ящика, в котором находятся 2 красных и 2 синих носка, одновременно вытаскивают одинза другим 2 носка. Событие A1 состоит в том, что первый носок красный, событие A2 — чтовторой носок красный. Выразите через них следующие события:A = «вынуты два красных носка»;B = «вынуты два синих носка»;С = «вынуты носки одного цвета»;D = «вынуты носки разных цветов».

Домашнее задание к следующему уроку

1. Решить задачу.
Команде знатоков в телевизионной игре «Что? Где? Когда?» предстоит сыграть 3 матча с телезрителями. События A, B, С означают, что соответствующий матч закончится победой знатоков. Опишите словами события, изображённые на диаграммах Эйлера — Венна 

2. Творческое задание «Вероятность вокруг нас»