Презентация "Случайные величины"

Случайные величины

Разработала:
учитель математики
Дюпина Е.А.

Число людей, заходящих на один и тот же сайт в Интернет, в разные дни бывает различным. Число таких людей называют случайной величиной.

В данной ситуации речь идет о случайной величине, характеризующей некоторое случайное событие. Эта величина может принимать разное числовое значение. Примеров случайных величин множество и каждая имеет свою размерность: рост произвольно выбранного человека в сантиметрах, а число бракованных деталей в партии в штуках и т.д.

Область теории вероятностей, занимающаяся изучением случайных величин называется математической статистикой.

Задача 1
Брошены две игральные кости. Игроки делают ставки на выпавшую сумму очков на двух костях. Есть ли сумма, на которую выгодно делать ставку?

Найдем вероятность появления каждой суммы очков. Общее число исходов n – всевозможных пар очков, согласно правилу произведения равно 6*6=36. Составим таблицу сумм очков, выпавших на двух костях:

С помощью таблицы для каждой конкретной суммы s определим число благоприятствующих ей исходов ms:
M2=m9=1, m3=m11=2, m4=m10=3, m5=m9=4, m6=m8=5, m7=6

Вероятность появления той или иной суммы в результате бросания двух костей можно представить в виде следующей таблицы:

Наибольшую вероятность появления 6/36=1/6 имеет сумма очков, равная 7.

В задаче появляющаяся при бросании костей сумма очков – случайная величина. Обозначим ее X. Тогда X1=2, X2=3…, X10=11, X11=12 – значения случайной величины X. Соответствующие каждому значению X вероятности их появления P1, P2, …, P10, P11 указаны в таблице:

С помощью этой таблицы легко увидеть, например, какие значения величина X принимает с одинаковыми вероятностями, какое значение величины X появляется с большей вероятностью и т.д.
Существуют случайные величины, принимающие одинаковые значения, но с разными вероятностями. Рассмотрим 3 игральных кубика, на гранях которых отмечены только одно или два очка: у кубика А одно встречается на гранях один раз, В – 2 раза, а у кубика С – 3 раза, на остальных гранях отмечены по два очка.

Случайные величины X, Y, Z – числа очков, выпавшие после бросания на кубиках А, В, С соответственно, принимают одинаковые значения: X1=Y1=Z1=1, X2=Y2=Z2= 2. Вероятности же появления этих чисел на каждом из рассмотренных кубиков различны (см. таблицы).

Кубик А

Кубик В

Кубик С

Эти и подобные им таблицы называют таблицами распределения значений случайной величины по их вероятностям. Они составлены после теоретического расчёта вероятностей событий.

Примеры случайных величин, для которых невозможно записать распределение их значений по вероятностей событий, исходя только из теоретических соображений.

1) Падения некоторой кнопки «на острие» или «на плоскость» может быть рассмотрено как случайная величина R с условными значениями R1=0 (падение «на острие») R2=1 (падение «на плоскость»).
В отличие от примеров с бросанием игральных кубиков, распределение значений величины R по вероятностям не может быть найдено теоретически. Записать его можно с помощью относительной кнопки распределение значений случайной величины R по относительным частотам представлено с помощью таблицы:

2) Случайная величина X – оценка за контрольную работу учащихся конкретно 9 класса может принимать значения X1=1, X2=2, X3=3, X4=4, X5=5. Распределение величины X по частотам (или относительным частотам) можно записать после подсчета числа случаев появления каждого ее значения.

Задача 2.
После проверки контрольной работы в 9 классе учитель сделал подсчет числа случаев (М) получения каждой из оценок и составил таблицу распределения значений величины X (оценок учащихся) по частотам M.

Составить таблицу распределения значений величины X по относительным частотам.

Число учащихся 9 класса N, писавших контрольную работу, равно сумме частот (M) всех выставленных оценок, т.е. N=1+3+15+9+3=31.
Зная, что относительная частота находится по формуле W=M/N, найдем относительную частоту для каждого значения величины X: W1=1/31, W2=3/31, W3=15/31, W4=9=31, W5=3/31.
Ответ

Когда нужно находить сумму всех значений некоторой величины, используют знак , введенный Л. Эйлером. Например, если частота M принимает значения M1, M2, … Mk, то будем использовать обозначение
M1 + M2+…+Mk= M
Зная, что сумма всех частот случайной величины равна числу испытаний, можно записать
M=N

Для любой случайной величины сумма относительных частот всех ее значений равна 1.

Например, в задаче 2
W=1/31+3/31+15/31+9/31+3/31=1

Задача 3
Рост каждой из 50 гимнасток одного спортивного клуба занесен в таблицу:

По имеющимся данным составить таблицу распределения значений случайной величины X – роста гимнасток клуба: 1) по частотам (M); 2) по относительным частотам (W).
Величина X принимает значения x1=148, X2=149, …, X7=154. Подсчитывая число (M) гимнасток каждого роста, заносим данные в частотную таблицу, а затем для каждого значения X находим значение относительной частоты W, зная, что N=50.

Проверка: M=3+8+10+8+9+7+5=50 =N; W=1

Распределение значений случайных величин можно задавать и демонстрировать гравически.

Пусть случайная величина X – размер обуви мальчиков 9 класса одной школы принимает все целочисленные значения от 38 до 45 и имеет распределение по частотам, представленное в таблице:

Отметим на координатной плоскости точки с координатами (38,;2), (39;2), …, (45;1) и соединим их последовательно отрезками. Полученную ломаную линию называют полигоном частот.

Возможно графическое распределения случайной величины и по относительным частотам. Допустим, в фонде библиотеки имеются книги следующих направлений:
Художественная литература
Учебная и педагогическая литература.
Общественно-политическая литература.
Энциклопедии и словари.
Распределение величины X – книг того или иного направления по относительным частотам представлено в таблице, где 1, 2, 3, 4 и 5 – условные значения случайной величины X (соответствующие ее порядковому номеру в списке наименований направлений):

W=1

Распределение величины X можно наглядно представить в виде полигона относительных частот. В виде линейной диаграммы или в виде круговой диаграмма. Если случайная величина принимает много различных значений, то их можно представить после разбиения на классы всех упорядоченных ее значений. Количество классов может быть любым, удобным для рассмотрения. При этом размеры класса должны быть одинаковыми.

Например: В таблице представлены сведения о премиях 100 рабочих одного предприятия. При этом премии (округленные до целого числа рублей) сгруппированы в 7 классов, каждый размером в 1000 р.

Наглядно частотное распределение зарплат по классам можно представить например с помощью полигона частот или столбчатой диаграммы:

В реальной жизни схожие элементы некоторой совокупности сравнивают по различным признаком. Учащихся 9 классов можно сравнивать, например, по росту, размеру одежды, успеваемости и т.д. Болты можно сравнивать по длине, диаметру, весу, материалу и т.д. Практически любой признак либо поддается непосредственному измерению, либо он может получить условную числовую характеристику. Таким образом, некоторый признак элементов совокупности можно рассматривать как случайную величину, принимающую те или иные числовые значения.
При изучении случайных явлений часто бывает невозможно обследовать все элементы совокупности. Например, практически невозможно выявить размеры обуви у всех людей планеты. А проверить, например, наличие листов некачественной фотобумаги в большой партии хотя и реально, но бессмысленно, так как полная проверка приведет к уничтожению всей партии бумаги.

В подобных случаях вместо изучения всех элементов совокупности, которую называют генеральной совокупностью, обследуют часть ее элементов, выбранных случайным образом. Эту часть называют выборкой.

Если в выборке присутствуют все значения случайной величины примерно в тех же пропорциях, что и в генеральной совокупности, то эту выборку называют репрезентативной (от фр. resentatif – представительный).

Например, если менеджер швейной фабрики большого города хочет выяснить, с каком количестве нужно шить одежду тех или иных размеров. Он должен составить репрезентативную выборку людей этого города. Объем выборки может быть и не очень большим. Но в качестве такой выборки нельзя, например, брать только детей детского сада или только рабочих одного завода. Очевидно, микромоделью города могут послужить жильцы многоквартирного дома (или нескольких домов), в котором примерно в тех же пропорциях. Что и в самом городе, проживают люди разных возрастов и разных комплекций.

Пусть S - объем генеральной совокупности. N – объем репрезентативной выборки, в которой значения исследуемого признака (случайной величины) распределены по частотам M1, M2, …,Mk, где M=N. Требуется в генеральной совокупности найти частоты S1, S2, …, Sk тех же значений признака, что и в выборке (S=S). Для идеального составленной репрезентативной выборки
Mi/N=Wi=Si/S
где i – порядковый номер значения признака (1 ik). Из соотношений (1) находим Si=S*(Mi/N) или
Si=SWi, где 1 ik

Задача 1
Фабрика выиграла тендер на изготовление S = 10000 армейских противогазов. Для определения того, сколько противогазов каждого из пяти существующих размеров следует изготовить, были сделаны замеры у n=100 случайным образом выбранных солдат ближайшей воинской части. Распределение размеров противогазов X по их частотам M оказалось следующим:

Сколько противогазов каждого размера будет изготавливать фабрика?

Задача 1
Фабрика выиграла тендер на изготовление S = 10000 армейских противогазов. Для определения того, сколько противогазов каждого из пяти существующих размеров следует изготовить, были сделаны замеры у n=100 случайным образом выбранных солдат ближайшей воинской части. Распределение размеров противогазов X по их частотам M оказалось следующим:

Сколько противогазов каждого размера будет изготавливать фабрика?

Будем считать исследуемую выборку объемом n=100 солдат репрезентативной. Тогда в генеральной совокупности (объемом S = 10000 солдат) число противогазов каждого размера пропорционально числу противогазов соответствующего размера в выборке и для каждого размера это число находится по формуле (2). Результаты расчетов будем записывать в таблицу:

M=N=100

W=1

(S*W) = S =10000

Задача 1
Фабрика выиграла тендер на изготовление S = 10000 армейских противогазов. Для определения того, сколько противогазов каждого из пяти существующих размеров следует изготовить, были сделаны замеры у n=100 случайным образом выбранных солдат ближайшей воинской части. Распределение размеров противогазов X по их частотам M оказалось следующим:

Сколько противогазов каждого размера будет изготавливать фабрика?

Будем считать исследуемую выборку объемом n=100 солдат репрезентативной. Тогда в генеральной совокупности (объемом S = 10000 солдат) число противогазов каждого размера пропорционально числу противогазов соответствующего размера в выборке и для каждого размера это число находится по формуле (2). Результаты расчетов будем записывать в таблицу:

M=N=100

W=1

(S*W) = S =10000

Ответ:

В промышленности и сельском хозяйстве для определения количественного соотношения изделий разного сорта пользуются так называемым выборочным методом. Суть этого метода будет ясна из описания следующего опыта.
В коробке тщательно перемешан горох двух сортов: зеленый и желтый. Небольшой емкостью, например ложкой извлекают из разных мест коробки небольшие порции гороха. В каждой порции подсчитывают число желтых (M) и число всех (N) горошин. Для каждой порции находят относительную частоту появления желтой горошины W=M/N. Так поступают k раз (на практике берут 5 k 10) и каждый раз вычисляют относительную частоту.
За статическую вероятность изъятия желтой горошины из коробки можно принять среднее арифметическое полученных относительных частот W1, W2, …, Wk:
Wср. = (W1+W2+…+Wk)/k

Задачи:
Определить, какую из предложенных в последнем столбце таблицы выборок можно считать репрезентативной.

Ответ: № 3, т.к. 2 детали недостаточно для получения реального результата; №3, т.к. 2 детали недостаточно, а во втором варианте детали были выбраны не случайно, а с закономерностью; №3, т.к. детали выбираются случайным образом.

Относительная частота появления имен существительных в тексте некоторого автора близка к 0,4. Сколько (приблизительно) имен существительных встретится в случайным образом выбранном отрывке из текста этого же автора. Если всего в этом отрывке 500 слов.

Дано:
W=0,4
N=500
Решение:
W=M/N
M=N*W=500*0,4=20

Относительная частота появления имен существительных в тексте некоторого автора близка к 0,4. Сколько (приблизительно) имен существительных встретится в случайным образом выбранном отрывке из текста этого же автора. Если всего в этом отрывке 500 слов.

Дано:
W=0,4
N=500
Решение:
W=M/N
M=N*W=500*0,4=20

Ответ: встретится приблизительно 200 существительных

Обувной цех должен выпустить 1000 пар кроссовок молодежного фасона. С этой целью были выявлены размеры обуви у 50 случайных образом выбранных подростков. Распределение выявленных размеров по частотам представлено в таблице:

Считая рассмотренную выборку репрезентативной, определить, сколько пар кроссовок каждого размера выпустит обувной цех.

Обувной цех должен выпустить 1000 пар кроссовок молодежного фасона. С этой целью были выявлены размеры обуви у 50 случайных образом выбранных подростков. Распределение выявленных размеров по частотам представлено в таблице:

Считая рассмотренную выборку репрезентативной, определить, сколько пар кроссовок каждого размера выпустит обувной цех.

S=1000
N=50
W=M/N
W(35)=3/50=0,06
W(36)=5/50=0,1
W(37)=6/50=0,12
W(38)=12/50=0,24
W(39)=11/50=0,22
W(40)=7/50=0,14
W(41)=4/50=0,08
W(42)=2/50=0,04

Si=S*Wi
S35=S*W35=1000*0,06=60
S36=S*W36=1000*0,1=100
S37=S*W37=1000*120=120
S38=S*W38=1000*0,24=240


S39=S*W39=1000*0,22=220
S40=S*W40=1000*0,14=140
S41=S*W41=1000*0,08=80
S42=S*W42=1000*0,04=40

Генеральные совокупности и выборки случайных величин иногда приходится характеризовать одним числом. На практике это бывает необходимо для быстрого сравнения двух или нескольких совокупностей по общему признаку.

Имеются: 1) распределение по частотам значений случайной величины Х – числа прочитанных за каникулы книг 10 девочками, 2) Распределение по частотам значений случайной величины Y – числа прочитанного за каникулы книга 9 мальчиками того же класса

Нужно сравнить интерес к чтению девочек и мальчиков этого класса

Заданные таблицами распределения величины Х и Y могут быть записаны соответственно в виде следующих рядов:

мода- наиболее часто встречающиеся значение случайной величины

Так, в совокупности (1) две моды: Мо1=3 и Мо2=5. а в совокупности (2) Мо=4, так как значение 4 в совокупности 2 встречается чаще других.

медиана- серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины

В ряду 1 четное число членов – 10. Для него медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений: пятого (оно равно 4) и шестого (оно равно 5), т.е. Ме =(4+5)/2=4,5
В ряду два нечетное число элементов – 9. Его медиана равна значению центрального, пятого члена ряда: Ме=4.

Запишем предложенные значения в виде упорядоченного ряда чисел: -3. -2, -2, -2, -1, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4,.
Значение -2 в совокупности встречается чаще других, поэтому ее мода Мо=-2. Так как число элементов совокупности N=12 – число четно, то медиана равна среднему арифметическому значений шестого и седьмого членов полученного упорядоченного ряда чисел:
Ме = (0+1)/2=0,5
Ответ: Мо=-2, Ме=0,5

Средним значением случайной величины Х (обозначается Х) называют среднее арифметическое всех её значений.

Если все значения случайной величины Х1, Х2, ... , Xn различны то

Если значения случайной величины Х1, Х2, ... , Хк имеют в совокупности соответственно частоты М1, М2, ... , Мк, то

Зная, что M=N, формулу можно переписать в виде

Возвращаясь к примеру с изучением интересов к чтению у девочек и мальчиков класса, найдём по формуле средней значения предложенных совокупностей:

Так как Хд>Хм, можно говорить, что за один тот же промежуток времени девочки среднем читать больше книг, чем мальчики.

На соревнованиях по фигурному катанию две фигуристки получили по шестибалльной шкале оценки судей

Которая из фигуристок выступила лучше?
Запишем в таблицы распределения по частотам оценок X и Y. Выставленных соответственно первой и второй фигуристкам:

Найдём средние значения оценок каждый из фигуристок:

Так как Х

Рассмотрим две упорядоченные выборки:
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 и 2; 4, 4; 4,8; 5; 5,2; 5,6; 8

Они не имеют моды и имеют одинаковые средние значения (5), совпадающие с медианами. Таким образом, центральные тенденции этих выборок одинаковы. Однако очевидно, что они отличаются друг от друга значениями элементов и их разбросом около среднего значения.

Разница между большими и наименьшими значениями случайной величины в выборке называется размахом выборки и обозначается R.

Размах характеризует границы разброса элементов выборки

Допустим, что на место токаря претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были изготавливать одинаковые детали. Результаты работы претендентов указаны в таблице:

Каждый из рабочих за 5 дней изготовил 250 деталей, значит, средняя производительность труда за день у обоих рабочих одинаковая:

Моды у предложенных совокупностей нет. Медины также одинаковы (50 и 50). Кого из этих рабочих предпочтительнее взять на работу? В Данном случае в качестве критерия сравнения совокупностей может выступать стабильность производительности труда. Ее можно сравнивать с помощью отклонений от среднего значения элементов совокупности.

Отклонение от среднего может быть как положительным, так и отрицательным числом. Сумма отклонений всех значений выборки от среднего значения равна 0. Поэтому характеристикой стабильности элементов совокупности может служить сумма квадратов отклонений от среднего.

Отклонением от среднего называют разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением выборки.

На практике это означает, что второй рабочий нестабилен, а значит работодатель предпочтет первого.

Если бы рабочие работали разное количество дней и производили за день в среднем одинаковое кол-во деталей, то стабильность можно было бы оценить по величине среднего арифметического суммы квадратов отклонений. Такая величина называется дисперсией и обозначается буквой D.
Для случайной величины X, принимающей N различных значений и имеющей среднее значение X, дисперсия находится по формуле: