Презентация "Теорема Пифагора"

Автор работы - учитель математики
МБОУ Андреевская СОШ
Кунавина Вера Алексеевна

Обобщить и систематизировать знания по теме

Расширение познавательного интереса к изучению геометрии.

Разносторонний подход к изучению данной темы: как историки, лирики, теоретики и как практики.

Великий ученый Пифагор родился около 570г. до н. э. на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя матери Пифагора неизвестно.
По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.
Среди учителей юного Пифагора называетcя имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского.
В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни.Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество.
…Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый , но злой, желает спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджегом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вкоре покончил жизнь самоубийством.

Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный , гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство
3 ² + 4 ² = 5²
было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).
По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Этот способ применялся тысячелетия
назад строителями египетских пирамид.

  Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла "Математика в девяти книгах" - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений.
     В IX книге "Математики" помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора (рис. ). Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют "креслом невесты", состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. .
     На последнем рисунке воспроизведен чертеж из трактата "Чжоу-би...". Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете - 16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

Формулировки теоремы

Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так :

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы.
Например, что Пифагор в честь своего открытия принес в жертву богам 100 быков.

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным доказательством теоремы Пифагора было придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два

На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим.

Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты".

В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль).

Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа

Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом, d2=2a2,откуда: d=а√2.

Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому,как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b²

Высота равностороннего треугольника

Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем
a2=h2+(a/2)2, или h2=(3/4)a2.
Отсюда вытекает h=1/2а √3.

Задача индийского математика XIIвека Бхаскары

"На берегу реки рос тополь одинокий.Вдруг ветра порыв его ствол надломал.Бедный тополь упал. И угол прямойС теченьем реки его ствол составлял.Запомни теперь, что в этом месте рекаВ четыре лишь фута была широкаВерхушка склонилась у края реки.Осталось три фута всего от ствола,Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:У тополя как велика высота?"

«Случится некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп.
И обретете лестницу долготью 125 стоп.
И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать»

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Отрывок из стихотворения А.Шамиссо