Презентация "Великая теорема Ферма. Долгий путь доказательства"

ПьердеФерма (фр. Pierre de Fermat) родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Beaumontde-Lomagne, Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое образование — сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане.

В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей.

Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности — частицы de; с этого времени он становится Пьером де Ферма.

Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил.

Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма в церкви августинцев (Тулуза).

Надпись на его надгробии, которое находится в церкви августинцев в Тулузе, гласит, что Ферма умер в возрасте 57 лет. Если верить этой надписи, то получается, что Ферма родился примерно в 1608 году.

Старший сын, Клеман-Самуэль, издал посмертное собрание его трудов, из которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма.

На полях изданной в 1621 году в Париже на двух языках, греческом и латинском, «Арифметик» Диофанта, напротив задачи 8: «Заданный квадрат разложить на 2 квадрата» в 1637 году Ферма написал: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвёртой степени быть записанной в виде суммы двух четвёртых степеней, или вообще для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанным в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но оно не уместится на полях [hanc marginis exiguitas non caperet; буквально: скудость поля его не вмещает]».

Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их (да и то без доказательств) сообщалась им в частной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 году. К числу последних принадлежит и Великая теорема. В 1670 году старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Ферма опубликовал доказательство только для n=4.

После Ферма над поиском доказательства работали такие великие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n=3). В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Иоганн Дирихле и Адриен Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5.

Еще один прорыв осуществил четырнадцатью годами спустя (1839) француз Габриель Ламе. Он внес некоторые остроумные усовершенствования в метод Жермен и доказал Великую теорему Ферма при простом значении n=7.

Софи Жермен выпало жить в эпоху шовинизма и предрассудков, и для того, чтобы иметь возможность заниматься математикой, ей пришлось принять псевдоним, работать в ужасных условиях и творить в интеллектуальной изоляции.

Cмотритель курса Жозеф Луи Лагранж обратил внимание на блестящие решения, которые стал представлять месье Леблан. Решения месье Леблана не только отличались необычайным остроумием, но и свидетельствовали о глубокой перемене, происшедшей в студенте, ранее известном своими слабыми познаниями в математике. Лагранж, принадлежавший к числу наиболее выдающихся математиков Европы, потребовал встречи с преобразившимся студентом, и Софи Жермен была вынуждена открыть, кто она на самом деле.

Лагранж был удивлен и приятно поражен, увидев перед собой девушку, и стал ее наставником и другом. Наконец-то у Софи Жермен появился учитель, который мог поощрить и вдохновить ее, кому она могла открыто продемонстрировать свои знания и с кем могла поделиться замыслами.

В письмах к Гауссу она изложила общий ход вычислений, сосредоточенных на простых числах p частного типа: таких, что числа 2p+1 — также простые. В составленный Жермен перечень таких простых чисел входит число 5, поскольку 11=2 · 5+1 — также простое, но число 13 в него не входит, так как 27=2 · 13+1 не простое.

В частности, Жермен с помощью изящного рассуждения, доказала, что если уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ имеет решения для таких простых n, что 2n+1 также простое число, то либо x, y, либо z делится n.

После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000 франков, тому математику, который сумеет наконец разгадать тайну Великой теоремы Ферма (1816). Того, кто сумеет доказать теорему, ждала не только заслуженная слава, но и значительное материальное вознаграждение. Салоны Парижа полнились слухами относительно того, какую стратегию избрал тот или иной претендент и как скоро объявят результаты конкурса. Наконец 1 марта 1847 года, Академия собралась на самое драматическое из своих заседаний.

1 марта 1847 Габриель Ламе взошел на трибуну перед самыми знаменитыми математиками XIX века и заявил, что находится на пороге доказательства Великой теоремы Ферма для общего случая. Ламе признал, что его доказательство еще не полно, но он обрисовал в общих чертах свой метод и не без удовольствия сообщил, что через несколько недель опубликует полное доказательство в журнале, издаваемом Академией.

Аудитория замерла от восторга, но едва Ламе покинул трибуну как слова попросил еще один из лучших парижских математиков Огюстен Луи Коши. Обращаясь к членам Академии, Коши сообщил, что уже давно работает над доказательством Великой теоремы Ферма, исходя примерно из тех же идей, что и Ламе, и также вскоре намеревается опубликовать полное доказательство.

Блестящий математик Жозеф Лиувилль, который внимательно слушал выступление Ламе, попросил слова и задал вопрос. Доказано ли, что разложение на множители на круговом поле единственно? Ламе признал, что это не доказано, но был уверен, что сможет быстро заполнить пробелы в своем доказательстве. Тем не менее ни Ламе , ни Коши сделать это так и не удалось.

Несколько месяцев спустя немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер пишет письмо Лиувиллю. В нем он объясняет, что, к несчастью для Ламе и Коши, единственность разложения на множители на круговом поле в общем случае не подтверждается. Теорема о единственности разложения на множители выполняется для целых чисел, она не обязательно должна выполняться, если используются мнимые числа.

Тем не менее он показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением нерегулярных простых 37, 59, 67.

Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую трудную в мире математическую проблему.

Резюме подвел Коши, который в 1857 году писал в заключительном отчете, представленном Академии, по поводу премии, назначенной за доказательство Великой теоремы Ферма:

«Отчет о конкурсе на премию по математическим наукам. Конкурс был назначен на 1853 год и затем продлен до 1856 года. Секретарю были представлены одиннадцать мемуаров. Ни в одном из них поставленный вопрос решен не был. Таким образом, несмотря на многократную постановку, вопрос остается там, где его оставил г-н Куммер. Однако математические науки вознаграждены трудами, предпринятыми геометрами в их стремлении решить вопрос, особенно г-на Куммера, и члены Комиссии считают, что Академия приняла бы достаточное и полезное решение, если бы, изъяв вопрос из конкурса, присудила бы медаль г-ну Куммеру за его прекрасные исследования по комплексным числам, состоящим из корней из единицы и целых чисел».

В 1907 году богатый немецкий промышленник и любитель математики Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полуночи. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи.

Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига . . . Был установлен крайний срок подачи заявок, не подлежащий продлению, — 13 сентября 2007 года.

С появлением арифмометров, а затем и компьютеров планка значений n стала подниматься всё выше — до 617 к началу Второй мировой войны, до 4001 в 1954 году, до 125 000 в 1976 году. В конце XX столетия мощнейшие компьютеры военных лабораторий в Лос-Аламосе (Нью-Мексико, США) были запрограммированы на решение задачи Ферма в фоновом режиме. Таким образом удалось показать, что теорема верна для невероятно больших значений x, y, z и n, но строгим доказательством это послужить не могло, поскольку любые следующие значения n или тройки натуральных чисел могли опровергнуть теорему в целом.

Гипотеза Таниямы–Симуры была сформулирована в 50-е и уточнена в 70-е годы XX века. В ней устанавливалось удивительное и неожиданное соотношение между двумя семействами математических объектов, на первый взгляд никак не схожих между собой: эллиптическими кривыми (тесно связанными с кубическими уравнениями, подобными тем, что изучал в свое время Диофант) и модулярными формами, разработанными французским математиком Анри Пуанкаре в конце XIX века.

Эта гипотеза была плодом усилий двух японских математиков, Горо Симуры (р. 1930) и Ютаки Таниямы (1927—1958).

                      Горо Симура                                   Ютака Танияма

Молодые ученые познакомились и впоследствии вместе работали в Токио, в опустошенной послевоенной Японии. Прекрасная история их сотрудничества, увы, была омрачена трагическим финалом. По непонятным причинам Танияма покончил жизнь самоубийством, оставив записку: « До вчерашнего дня у меня не было цели покончить с собой. Но некоторые должны были обратить внимание, что в последнее время я устал и физически, и морально. Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин.

Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее. Может быть, есть кто-то, для кого моё самоубийство будет ударом. Я искренне надеюсь, что это событие не бросит тень на будущее этого человека. Во всяком случае, я не могу отрицать, что это будет предательством с моей стороны, но прошу простить меня за это последнее осознанное действие, которое я совершаю в своей жизни.»

В глазах математического сообщества гипотеза

Таниямы–Симуры и последняя теорема Ферма не имели ничего общего, разве что обе они являлись гипотезами. Неожиданные параллели обнаружил немецкий математик Герхард Фрай. в 1984 году на нескольких математических конференциях Фрай сформулировал эпсилон-гипотезу, которая открыла новый, революционный путь к доказательству последней теоремы Ферма.

Блестящий молодой математик из США Кеннет Рибет занялся доказательством эпсилон-гипотезы и наконец увидел свет в конце туннеля: «Я был абсолютно поражен. Я вернулся домой, спотыкаясь, будто витая в облаках. Я сел и снова проверил все доказательство и увидел, что оно было верно, действительно верно. Я посетил конференцию

(Международный конгресс математиков, 1986 г.), рассказал об этом немногим, и вскоре об этом узнали почти все. Ко мне подходили и спрашивали: ”Вы правда доказали эпсилон-гипотезу?“ Я помедлил около минуты и вдруг сказал:

”Да. Я доказал ее“».

Все стало окончательно ясно: тот, кто докажет гипотезу Таниямы–Симуры, докажет последнюю теорему Ферма.

Был летний вечер 1986 года. Эндрю Уайлс пил чай со льдом в гостях у друга. В разговоре собеседник обронил, что Рибет доказал эпсилон-гипотезу. Это вызвало в обычно сдержанном Уайлсе настоящую бурю эмоций. «В тот момент я понял, что моя жизнь изменилась. Если это было действительно так, то для доказательства теоремы Ферма нужно было всего лишь доказать гипотезу Таниямы–Симуры. В этот же самый миг я понял, над чем мне нужно работать», — вспоминал он позже.

Уайлс оставил все остальные проекты и всецело посвятил себя решению этой задачи, практически полностью отгородившись от всего мира на семь лет. Как признавался он сам много лет спустя, у него было важное преимущество: никто не имел ни малейшего представления, как подступиться к задаче.

Об Эндрю Уайлсе известен забавный случай: он узнал о великой теореме Ферма в 10 лет из научно-популярной книги по математике. Образ затерянного доказательства напомнил мальчику о темных пещерах и таинственных кладах, зарытых в далеких южных странах. Уайлс решил доказать теорему, используя знания из школьного курса арифметики. Юному Уайлсу, разумеется, пришлось оставить попытки найти доказательство, но теореме Ферма было суждено сопровождать его всю жизнь.

C 21 по 23 июня 1993 года на кафедре чистой математики

Кембриджского университета, которую возглавлял австралиец Джон Коутс, должна была состояться международная конференция по теории Ивасавы — подразделу теории чисел, в котором изучаются эллиптические кривые.

Уайлс неутомимо приводил в порядок результаты последних семи лет работы. Окончательный вариант рукописи насчитывал 200 страниц и был закончен как раз тогда, когда нужно было садиться на самолет и лететь в Великобританию.

Коутс был приятно удивлен, что после стольких лет забвения его ученик (Эндрю Уайлс), принял приглашение на конференцию. Коутс удивился еще больше, когда в ответ на вопрос, сколько времени тому понадобится на выступление, Уайлс, который отличался робостью и нелюбовью к публичным выступлениям, попросил выделить для него целых три часа. Заинтригованный Коутс спросил, какая же тема заслуживает трехчасового выступления, на что Уайлс ответил ему точно так же, как и другим своим коллегам: «Приходите, и вы сами всё увидите».

В названии доклада «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления Галуа» перечислялись, несомненно, известные термины, но Уайлс не говорил ничего о том, как они связаны между собой, как будто бы ему был известен какой-то секрет.

В понедельник Уайлс, вооруженный многочисленными заметками, вошел в конференц-зал. Под удивленными взглядами двух десятков присутствующих этот высокий и худощавый человек, которому едва исполнилось сорок, за пробивающуюся лысину получивший прозвище

«яйцеголовый», во время доклада перечислил результаты своих работ, представлявшие огромный научный интерес.

Слухи распространились незамедлительно, и на следующем выступлении, запланированном на вторник, в зале не осталось ни одного пустого места. Когда он закончил второй доклад и направился к выходу, присутствующие проводили его уважительным молчанием, а затем бросились обсуждать то, что они только что услышали.

23 июня 1993 года проход в зал, где Уайлс должен был прочитать свой третий и последний доклад, оказался забит небольшой толпой. Некоторые из присутствующих принесли с собой фотоаппараты, и им не терпелось сделать множество снимков этого худощавого математика, который излучал какое-то сверхъестественное спокойствие. Когда в зале установилась тишина, Уайлс начал третью часть доклада, который должен был стать одним из важнейших за всю историю математики.

Выкладки на доске сменяли друг друга, и напряжение все возрастало. Наконец Уайлс записал последние несколько строк, которые были выражены в терминах современной математики, но означали то же самое, что написал один французский математик на полях книги более трехсот лет назад. «И это доказывает великую теорему Ферма, — сказал Уайлс. — Думаю, мне следует на этом остановиться».

Газета «Нью- Иорк Таймс» 24 июня вышла с таким заголовком: «Наконец-то можно крикнуть „Эврика!“ Вековая тайна математики раскрыта», и большинство крупных газет по всему миру уделили этой новости такое же внимание.

«7 лет решение этой задачи вызывало во мне удивительные чувства, — вспоминал он в 1997 году. — Эндрю Уайлс

И наконец мне удалось решить ее». Однако на этом цитата не заканчивается: «И только потом стало известно, что не все было так гладко».

Уайлс попросил помощи у своего бывшего ученика Ричарда Тейлора, блестящего молодого математика. Оба засучив рукава принялись за работу, но, несмотря на все усилия, почти весь 1994 год им никак не удавалось изменить метод Колывагина — Флаха в соответствии с доказательством.

Утро понедельника, 19 сентября, Уайлс навсегда запомнил в мельчайших подробностях: «Я пытался найти ошибку, как вдруг внезапно, совершенно неожиданно на меня снизошло озарение. Я понял, что хотя метод Колывагина—Флаха не работал на полную мощность, в нем было все, что необходимо для возможности применения теории Ивасавы, на которую я первоначально опирался. Это был самый. . . самый важный момент за всю мою математическую карьеру. Решение было неописуемо прекрасно, просто и элегантно».

Следующие несколько дней Тейлор и Уайлс подробно проверяли новое, исправленное доказательство, и не нашли ни единой ошибки. Меньше месяца спустя были опубликованы две рукописи. Авторство одной из них, достаточно объемной, с названием «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма», принадлежало Эндрю Уайлсу. Другая, более короткая, называлась «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» и принадлежала перу Уайлса и Ричарда Тейлора.

В первой содержалось доказательство гипотезы Таниямы — Симуры для полустабильных эллиптических кривых. Один из важнейших этапов доказательства был основан на материале второй рукописи. Обе рукописи были подробно прокомментированы и представлены к публикации в научном журнале «Анналы математики». Эксперты не обнаружили ошибок, и рукописи были опубликованы в майском номере журнала за 1995 год.

Математики всего мира могли вздохнуть с облегчением. Удивительное достижение Уайлса, в успех которого уже почти перестали верить, было удостоено всех возможных научных наград: премии Вольфа, одной из наиболее престижных и крупных премий в математике, в 1995 году; премии Шока в том же году; медали Лондонского королевского общества и премии Островского в 1996 году; премии Коула в области теории чисел в 1997 году (ранее этой премии были удостоены Горо Симура, Барри Мазур и Карл Рубин) и, разумеется, премии Ферма, учрежденной в 1989 году, чтобы поощрять исследования в тех областях, где работал сам Ферма.

В 1998 году он получил премию Файзала, в 1999-м — награду Математического института Клэя. Не будем забывать и о премии Вольфскеля, которая значительно обесценилась из-за гиперинфляции 1930-х годов в Германии, но тем не менее составила внушительные 30 000 фунтов.

Однако в коллекции наград, полученных Уайлсом, недостает одной, но очень важной: Филдсовской медали. к моменту церемонии 1994 года Уайлсу уже исполнился 41 год.

Было принято решение впервые в истории премии присвоить Уайлсу почетный титул и вручить ему серебряную табличку в знак признания его выдающихся заслуг.

В 1997 году в научно-популярной программе NOVA Эндрю Уайлса спросили, как бы он описал семь лет настойчивых, граничащих с одержимостью поисков, которые завершились доказательством последней теоремы Ферма — самой знаменитой теоремы всех времен. Уайлс ответил: «Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Темно. Кромешная тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаёте, где что стоит. Наконец месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где вы. Затем вы переходите в следующую комнату и проводите там шесть месяцев во мраке».

«Доказав великую теорему Ферма, я не мог не ощутить потери, но в то же время меня охватило чувство бескрайней свободы. На протяжении восьми лет я был настолько поглощен ее доказательством, что не мог думать ни о чем другом. Я думал о теореме Ферма все время — с утра до ночи. Для размышлений об одном и том же — срок очень долгий. Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрел покой».

Ферматисты — это люди, не имеющие специального математического образования, фанатично убеждённые в том, что они решили Проблему Ферма, и настойчиво ищущие признания. Признания они, естественно, не получили, но, завалив своими рукописями математические кафедры ряда крупных западных университетов, заставили эти кафедры занять оборонительную позицию: университеты стали возвращать авторам любые доказательства Великой теоремы Ферма, прилагая при этом стандартное письмо с указанием, что доказательство будет рассмотрено только после получения денежного залога.

Известный гётттингенский профессор Эдмунд Ландау (избранный в 1932 году иностранным почётным членом Академии наук СССР) даже изобрёл специальный бланк, который он поручал заполнять своим аспирантам: «Дорогой сэр (мадам)! Мы получили Ваше доказательство Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на странице . . . , строка . . . »

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ