Презентация " Теорема Пифагора"

Теорема Пифагора Теорема Пифагора Подготовила Подготовила Исаева Катя Исаева Катя 8 8 ““гг””

Немного истории… Пифагор Самосский ( 570— 490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».

Теорема Пифагора и способы Теорема Пифагора и способы ее доказательства ее доказательства В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

Карикатуры Карикатуры • Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

Доказательство теоремы Пифагора по косинусу α D A b c β Построим из прямого угла С высоту СD По определению косинуса: Cos α= AD:AC=AC:AB=> AB*AD=AC C a B Аналогично: Cos β=BD:BC=BC:AB Складывая полученные равенства почленно, и отмечая, что АС2 +BС2 =AB(AD+DB)=AB2

Доказательство теоремы Пифагора b S1 c S2 a S1:S2:S=a 2: b 2:c2 по площади Опустим высоту на гипотенузу C .Площадь треугольника-S ,разбивается на 2 Ему подобных с площадями S1 и S2. Площади треугольников относятся как Квадраты их гипотенуз. НО! S1+S2=S ,то есть a2 + b2 + c2

Здесь изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2.

Доказательство теоремы Доказательство теоремы Пифагора методом Гофмана и и Пифагора методом Гофмана Мёльманна Мёльманна Построим треугольник ABC с прямым углом С Построим BF=CB, BFCB Построим BE=AB, BEAB Построим AD=AC, ADAC Точки F, C, D принадлежат одной прямой. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 Соответственно: а2+ а2+ bb 2 2 ==с 2с 2 Метод Гофмана Метод Гофмана

Метод Мёльманна: Метод Мёльманна: Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5ab, с другой 0.5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r = 0.5(a+b-c)). Имеем: 0.5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b -c) Отсюда следует , что сс22=а=а22++b2b2 B C a b A c

Алгебраический способ Алгебраический способ доказательства теоремы доказательства теоремы Пифагора Пифагора Треугольники А1, А2, А3 равны треугольнику А (по двум катетам и прямому углу) Следовательно их гипотенузы равны Следовательно их гипотенузы равны A A1 A2 A4 A3

Доказательство теоремы Пифагора Доказательство теоремы Пифагора по Евклиду по Евклиду AJ- высота, опущенная на гипотенузу. Докажем, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат На два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих Квадратов, построенных на катетах. 1) Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH. Треугольник ABD=BFC (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBC=углу ABD). НО!НО!

S треугольника ABD=1/2 Sпрямоугольника BJLD, т.к. у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD АНАЛОГИЧНО, S треугольника FBC=1/2 S прямоугольника ABFH(BF-общее Основание, AB-общая высота). Отсюда, учитывая, что S треугольника ABD =S треугольника FBC, имеем: S BJLD=S ABFH. АНАЛОГИЧНО, используя равенство треугольников BCK и ACE, доказывается, что S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. S S треугольника=1/2 треугольника=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD

Наиболее привычный способ Наиболее привычный способ доказательства теоремы доказательства теоремы Пифагора.. Пифагора Это равнобедренный прямоугольный треугольник Все треугольники равны исходному, Все треугольники равны исходному, поэтому также являются равнобедренными поэтому также являются равнобедренными и прямоугольными и прямоугольными