Презентация "Числовые последовательности"

Числовые Числовые (по формулам nn-го -го последовательности последовательности Способы задания последовательности:: Способы задания последовательности словесный: 2,3,5,7,11,13,17,… 1. 1. словесный: 2,3,5,7,11,13,17,… аналитический (по формулам 2. 2. аналитический члена): члена): - 3, 9, 27, …, 3 - 3, 9, 27, …, 3nn,… у ,… у == 33nn - 5,5,5,...,5,… у == СС - 5,5,5,...,5,… у ,… у == n n44 - 1,16,81,…,nn44,… у - 1,16,81,…, рекуррентный: арифметическая и 3. 3. рекуррентный : арифметическая и геометрическая прогрессии геометрическая прогрессии ааnn+1+1 == ааnn++d (dd (d – разность) – разность) g (g – знаменатель) – знаменатель) bbn+1n+1 = b = bnng (g 20.01.17 20.01.17 11

называют ограниченной называют ограниченной Н/р, -1,-8,-27,-81,…,- - последовательность (у Свойства числовых Свойства числовых последовательностей последовательностей 1. Ограниченность сверху и снизу 1. Ограниченность сверху и снизу ограниченной сверху сверху, , - последовательность (уnn))называют - последовательность (у если все ее члены не больше некоторого числа, т. е. если все ее члены не больше некоторого числа, т. е. существует такое число М, что для любого nn выполняется выполняется существует такое число М, что для любого неравенство уn n меньше либо равно М. Число М называют меньше либо равно М. Число М называют неравенство у верхней границей последовательности.. верхней границей последовательности Н/р, -1,-8,-27,-81,…,-nn33,… ограничена сверху (верхняя граница ,… ограничена сверху (верхняя граница -1 или 0). -1 или 0). ограниченной снизу снизу, , - последовательность (уnn))называют если все ее члены не меньше некоторого числа, т. е. если все ее члены не меньше некоторого числа, т. е. существует такое число М, что для любого nn выполняется выполняется существует такое число М, что для любого неравенство уn n больше либо равно М. Число М называют больше либо равно М. Число М называют неравенство у нижней границей последовательности.. нижней границей последовательности Н/р, 1,4,9,16,…,nn22,… ограничена снизу(нижняя граница 1 или Н/р, 1,4,9,16,…, ,… ограничена снизу(нижняя граница 1 или 0).0). - если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее - если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной называют ограниченной Н/р, 1, 1/2, 1/3, 1/4, …, 1/nn,… верхняя граница 1, нижняя Н/р, 1, 1/2, 1/3, 1/4, …, 1/ ,… верхняя граница 1, нижняя граница 0. граница 0. 2. Геометрический признак ограниченности функции. 2. Геометрический признак ограниченности функции. 20.01.17 20.01.17 22

3. Возрастание и убывание. 3. Возрастание и убывание. - последовательность (у(уnn))называют называют - последовательность - последовательность возрастающей, если каждый ее член больше , если каждый ее член больше возрастающей предыдущего; предыдущего; - последовательность (у(уnn))называют называют убывающей, если каждый ее член меньше , если каждый ее член меньше убывающей предыдущего. предыдущего. Возрастающие и убывающие последовательности Возрастающие и убывающие последовательности монотонные называют общим термином - монотонные называют общим термином - последовательности. последовательности. Н/р, Н/р, gg=-3 1,-3,9,-27,81,…,-ни возрастающая, ни =-3 1,-3,9,-27,81,…,-ни возрастающая, ни убывающая (немонотонная) убывающая (немонотонная) 5, 10, 15, 20-возрастающая, монотонная 5, 10, 15, 20-возрастающая, монотонная последовательность последовательность 20.01.17 20.01.17 33

4. Предел числовой 4. Предел числовой последовательности. последовательности. (у(уnn)) : 1,4,7,10,13…. -расходится : 1,4,7,10,13…. -расходится (х(хnn)) : 1, 1/3, 1/9, 1/27,…- сходится : 1, 1/3, 1/9, 1/27,…- сходится Число bb называют называют Число пределом последовательности (у(уnn)), , пределом последовательности если в заранее выбранной окрестности если в заранее выбранной окрестности точки bb содержатся все члены содержатся все члены точки последовательности, начиная с некоторого последовательности, начиная с некоторого номера. номера. 20.01.17 20.01.17 44

5. Свойства сходящихся 5. Свойства сходящихся последовательностей. последовательностей. - если последовательность сходится, то - если последовательность сходится, то только к одному пределу; только к одному пределу; - если последовательность сходится, то она - если последовательность сходится, то она ограниченна (обратное неверно); ограниченна (обратное неверно); - если последовательность монотонна и - если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса). Вейерштрасса). 20.01.17 20.01.17 55

6. Вычисление пределов 6. Вычисление пределов последовательностей. последовательностей. - предел стационарной последовательности - предел стационарной последовательности равен значению любого члена равен значению любого члена последовательности; последовательности; - предел суммы равен сумме пределов; - предел суммы равен сумме пределов; - предел произведения равен произведению - предел произведения равен произведению пределов; пределов; - предел частного равен частному от пределов; - предел частного равен частному от пределов; - постоянный множитель можно вынести за - постоянный множитель можно вынести за знак предела. знак предела. 20.01.17 20.01.17 66

7. Сумма бесконечной 7. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. геометрической прогрессии. Бесконечная геометрическая Бесконечная геометрическая последовательность последовательность ,…,bbnn,…,… bb11,,bb22,,bb33,…, Если знаменатель геометрической Если знаменатель геометрической прогрессии (bbnn) удовлетворяет ) удовлетворяет прогрессии ( неравенству lgl lgl << 1, то сумма 1, то сумма S S неравенству прогрессии вычисляется по формуле S S прогрессии вычисляется по формуле = b= b11/(1 – /(1 – gg)) 20.01.17 20.01.17 77