Презентация и описание по математике на тему "Нестандартные способы решения задач на смеси и сплавы" (9, 11 классы, подготовка к ГИА)

Нестандартные  способы решения  задач на смеси и  сплавы Автор: Немченко Марина Германовна, учитель математики МАОУ «Лицей №6» г. Тамбова

Задания из вариантов ЕГЭ Задания из вариантов ЕГЭ 5. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40%  меди. Масса второго сплава больше массы первого  на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав,  содержащий 30% меди.  Найдите массу третьего  сплава.  Ответ дайте в килограммах. 6. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив   10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты.  Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%  раствора той же кислоты, то получили бы 41%  раствор кислоты. Сколько килограммов 30%  раствора использовали для получения смеси? 7. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а  второй  — 20 кг раствора кислоты различной  концентрации. Если эти растворы смешать, то  получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если  же смешать равные массы этих растворов, то  получится раствор, содержащий 70% кислоты.  Сколько килограммов кислоты содержится в первом  сосуде? 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного  раствора некоторого вещества, добавили 7 литров  воды.  Сколько процентов составляет концентрация  получившегося раствора? 2. Смешали некоторое количество 15% раствора  некоторого вещества с таким же количеством 19%  раствора этого вещества.  Сколько процентов  составляет концентрация получившегося раствора? 3. Смешали 4 литра 15% водного раствора  некоторого вещества с 6 литрами 25% водного  раствора этого же вещества.  Сколько процентов  составляет концентрация получившегося раствора? 4. Имеется два сплава. Первый содержит 10%  никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов  получили третий сплав массой 200 кг, содержащий  25% никеля. На сколько килограммов масса первого  сплава меньше массы второго?

Задания из вступительных экзаменов в МГУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  ФАКУЛЬТЕТ Имеются три металлических  слитка. Первый весит 5 кг, второй  – 3 кг, и каждый из этих двух  слитков содержит 30% меди. Если  первый слиток сплавить с третьим,  то получится слиток, содержащий  56% меди, а если второй слиток  сплавить с третьим, то получится  слиток, содержащий 60% меди.  Найти вес третьего слитка и  процент содержания меди в нём. ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью  кислорода и азота. На долю кислорода  приходится 16% вместимости сосуда. Из  сосуда выпускают некоторое количество  смеси и впускают такое же количество  азота, после чего опять выпускают такое же,  как в первый раз, количество смеси и опять  добавляют столько же азота. В новой смеси  кислорода оказалось 9%. Какое количество  смеси каждый раз выпускалось из сосуда?

Теоретическая  Теоретическая часть часть

Теоретические основы основы Теоретические задач «на смеси, сплавы» «на смеси, сплавы» решения задач решения Примем некоторые допущения: Все получающиеся сплавы или смеси однородны. При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ  равна сумме масс компонентов. Определение.  Процентным содержанием ( концентрацией)   вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе  всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях,  либо в процентах. Терминология: ­ процентное содержание вещества;  ­ концентрация вещества;   ­ массовая доля вещества. Всё  это синонимы.

Практическая Практическая часть часть

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди? + =

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди? оло во медь медь оло во + + оло во медь = =

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди? оло во сви оло нец во медь медь 72% оло во оло во медь медь 80% + + + медь медь 75% оло во оло во = = =

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди? оло во оло во оло во медь медь 72% медь 72% оло во оло во оло во медь медь 80% медь 80% + + + + медь медь 75% медь 75% оло во оло во оло во = = = = Х г (800­Х) г 800 г

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди? оло во медь 72% Х г оло во + медь 80% (800­Х) г = оло во медь 75% 800 г Решение:  0,72 x x  500 1) 0,8 800    x   0,75 800  2) 800 x  300. Ответ:500 г, 300 г.

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди? оло во медь 15% Х г Решение:  0,8 y x 0,72   800, y x + оло во У г медь 65% = оло во медь 30% 200 г  0,75 800,  x  500, y  300. Ответ:500 г, 300 г.   

Задача 1.. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит  Задача 1 72%  меди,  а  другой  80%  меди.  Сколько  нужно  взять  каждого  сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди? СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ 75 75 72 80 72 80 5 3 (800 : (5 + 3) = 100 г приходится на одну часть) для получения 800 г 75%­ного сплава нужно взять:  72%­ного сплава 100∙5 = 500 г, а 80%­ного – 100∙3 = 300 г. Ответ:500 г, 300 г.

Задача 2.. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375­й пробы  Задача 2 с золотом 750­й пробы, чтобы получить золото 500­й пробы? СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ 500 375 750 250 125 x : y  2 5 0 : 1 2 5 ; x : y  2 : 1 . От вет : Нужно взят ь две част и 375-й пробы и одну част ь 750-й пробы.

Теоретическая  Теоретическая  часть часть

Правило креста или квадрат Правило креста или квадрат Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В  Пирсона Пирсона распоряжении имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем  нужно. Если обозначить массу первого раствора через m 1, а второго – через m 2, то при  смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе –   ω 1, во втором  –  ω 2, а в их смеси –  ω 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет  складываться из масс растворённого  вещества в исходных растворах:  m 1 ω 1 + m 2 ω 2 = ω 3(m 1 + m 2),       m 1(ω 1 –  ω 3) = m 2(ω 3 –  ω 2), m 1 m 2        2   3   3 1 Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют  диагональную схему правила смешения или квадрат Пирсона. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества  в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно  приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго  растворов, необходимые для приготовления нужного раствора. ω1                      ω3 — ω2               ω3         ω2                      ω1  — ω3

Практическая Практическая часть часть

Задача 3.. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько  Задача 3 пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы  концентрация соли составила 1,5%? Решение: 5% 0% 1,5% 1,5% 30 кг 3,5% х кг 3 0 x  1 , 5 3 , 5 ; x 3 0  3 , 5  1 , 5 ; x  7 . От вет : 7 килограммов.

Задача 4.. Из сосуда, доверху наполненного 97%  раствором  Задача 4 кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора  этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор  кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд? 97% 45%       81% 36% (х­2) л 16% 2 л Решение: x  2 2  3 6 1 6 ; 1 6  x   2  7 2 ; x  6 , 5 . От вет : 6,5 лит ров.

Задача 5. Смешали 500 г 10%­го раствора соли и 400 г 55%­го  раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси. Решение: 10%                                                      55%       х% (55­х)% 500 г       (х­10)% 400 г 5 0 0 4 0 0  5 5 x   x 1 0 ; 5 4  5 5 x   x 1 0 ; 5 x  5 0  2 2 0  4 x ; 9 x  2 7 0 ; x  3 0 . Ответ: концентрация соли в смеси двух исходных растворов 30%.

Задача 6. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго  слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное  содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После  сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное  содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного  слитка. Решение: 40% 10% 30% 20% (х+3) кг 10% х кг x 1) x ;  x  3  3  2 2 0 1 0 x ; x  3 ; 2) 6 + 3 = 9 (к г). От вет : 9 килограммов.

Задача 7. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60%  олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова.  Сколько процентов олова в получившемся сплаве? Решение: 60% 80% х% (80­х)% 300 г (х­60)% 900 г 3 0 0 9 0 0  8 0 x   x 6 0 ; x 4  6 0  2 4 0  3 x ; x  3 0 0 ; x  7 5 . От вет : 75%.

Задача 8. В сосуд, содержащий 5 литров 12­процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение: 12% 0% х% х% 5 л (12–х)% 7 л 5 7 ;  5 x ;  x 6 0 x   x  1 2 x 7 1 2 6 0 ; x  5 .   Ответ: 5%.

Задача 9. Смешали некоторое количество 15­процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19­процентного раство­ ра этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 15% 19% х% (19–х)% т г  (х–15)% т г  Решение:  1 9 x  x 1 5   m m ; 1 9  x  x  1 5 ; 2 x  3 4 ; x  1 7 . Ответ:  17%.

Задача 10. Смешали 4 литра 15­процентного водного раствора  некоторого вещества с 6 литрами 25­процентного водного раствора  этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация  получившегося раствора?    Решение: 15% 25% х% (25–х)% 4 л (х–15)% 6 л 2 5 x   x 1 5 1 5 0 1 0  x  ; 4 6   6 x 2 1 0 ; 4 x  6 0 ; x  2 1 .       Ответ: 21%.

Задача 11. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? 10% 30% 25% 5% х кг      15% (200–х) кг Решение:   1)  5 1 5  x 2 0 0  ; x 2 0 0  x x ;  1 3 3 4  x x  2 0 0  x ; 2 0 0 ; (кг) – 1­й сплав; (кг) – 2­й сплав; (кг) – разница. x  2 0 0 5 0   1 5 0   5 0 5 0 2)  3)  Ответ: на 100 кг. 1 0 0 1 5 0

Задача 12. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди.  Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух  сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите  массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. х кг  10% 10% 30% 40% 20% (х+3) кг ; 3 ; x  Решение:  x 1)   1 2 1 0 2 0 x   x x 2 x  3 x 3 3 ;  (кг) — 1­й сплав; 2)  3)  3 3   3 6   6 9 (кг) — 2­й сплав; (кг) — 3­й сплав. Ответ: 9 кг.

Задача 13. По дороге ТУДА Винни Пух нашел дупло с мёдом. По  его ощущениям этот мёд, к сожалению, только лишь на одну пятую  часть правильный (остальные четыре пятые – неправильные). В  дупле же, найденном по дороге ОБРАТНО, мёд на 60% правильный.  Сколько килограммов мёда нужно взять из первого и второго(10 –  Х) кг дупла, чтобы в общей сложности получить 10 кг меда,  содержащего 32% правильного? Решение: 20% 28% Х к г 32% 60% 12% (10 – Х ) к г ; 3 x ; 1 0  x x   x 1) 2 8  1 2   7 1 0 7 0 ; x  (кг) 1 0 x  7 2) 10 – 7 = 3 (к г). Ответ: 7 килограммов из первого и 3 килограмма из второго дупла.

БЛАГОДАРЮ  БЛАГОДАРЮ  ЗАЗА ВНИМАНИЕ ВНИМАНИЕ