Презентация к научной работе по математике"Методы решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми"

Методы решения задач на  нахождение угла между  скрещивающимися прямыми Выполнил: ученик 10«Б» класса,  Коток Игорь Преподаватель: учитель математики Щербакова Т.И.

Цели и задачи: Цели: 1.Рассмотреть теоретический аспект угла между  скрещивающимися прямыми. 2.Обобщить все знания, полученные в ходе исследования. 4.Сделать выводы. Задачи: Изучить литературу по данной теме. Познакомиться с новыми методами нахождения угла между  скрещивающимися прямыми. Подобрать задачи по данной теме. Исследовать задачи на примере изученных методов и  находить наиболее рациональное решение.

Гипотеза и предмет исследований. Гипотеза: «С помощью изученных методов  можно найти наиболее  рациональное решение задач ЕГЭ  ­ С2.» Предмет исследований: «Геометрические задачи на  нахождение угла между  скрещивающимися  прямыми.»

Алгоритм решения:  1. Определение типа прямых.  2. Параллельный перенос одной или обеих  3. Нахождение требуемого угла. A c N b α а Поэтапно­вычислительный a) Пусть а и b –данные  скрещивающиеся прямые. Через одну  из них, например, b и через какую­ нибудь точку А, лежащую на прямой а,  проведем плоскость    прямых.  .α б) Через точку А проведем прямую с||b.  Получившийся  MAN­  скрещивающимися прямыми. угол между  ∠ M в) Выберем  на прямой а­ какую­нибудь точку М,  а на прямой с­точку  N. Получим треугольник  AMN. Вычислим  стороны треугольника по  теореме косинусов и найдем  cos     MAN∠ . cos  ∠  MAN=

Метод трех косинусов b b 1 α a Алгоритм решения : 1) Определить тип прямых. 2) Спроектировать скрещивающуюся  прямую на плоскость 3) Найти косинус прямую а плоскость  1. а и b­скрещивающиеся прямые. Проведем через   α пересекающую прямую b. ∠ 1)*cos  2.  Спроектируем b на  (b;b . bα 1­  проекция,  (a;b∠ 1)  cos  ∠ α   =cos  3.

Метод проектирования обеих скрещивающихся  прямых на плоскость перпендикулярную одной из них. а А α b b1 α а1 B d d1  α Пусть а и b – скрещивающиеся  прямые, плоскость  перпендикулярна прямой а, b  пересекает α в точке В, точка А –  проекция прямой а, а прямая b1  проекция прямой b. На прямой b  лежит отрезок длинной d, а его  проекция на плоскость α имеет  длину d1. Тогда верна формула                                   d1 sin  d                          , где α­ угол между  прямыми а и b.

Проектирования отрезка одной из  скрещивающихся прямых на другую а b d d 1 Пусть a и b – скрещивающиеся прямые, на прямой a находится  отрезок длины d, и его ортогональной проекцией на прямую b является отрезок длиной d1.  Тогда верна формула sin                       , где α – угол между прямыми a и b. d1 d

Метод тетраэдра     Весьма эффективен, встречается не  часто. Для тетраэдра  ABCD верна  формула: cos  ∠ ( AC ; BD )   2 AD  2   AC BC 2 2  CD 2 ) AB (  BD

Координатный метод Алгоритм решения: 1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым  придаем направление, т.е. векторы)  2. Вписываем фигуру в систему координат  3. Находим координаты концов векторов  4. Находим координаты Векторов  5. Подставляем в формулу "косинус угла между векторами"  6. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим  значение самого угла.   ); ba cos(    xx yy 21 21  2 2 2 z y x 1 1 2 zz 21  2 y 2 2 x 1  z 2 2 ,где   ; zyxbzyxа  ; , ; 1 ; 1   1 2 2 . 2

Единичный куб. z х D (0; 0; 0)A (1; 0; 0)C (0; 1; 0)B (1; 1; 0) D1 (0; 0; 1)A1 (1; 0; 1)C1 (0; 1; 1)B1 (1; 1; 1) у

Правильная шестиугольная призма. c a х E z a 3 2 a 1 2 у у F E A D a a C B D ;  C (a; 0;0) F (­ a; 0;0) 3 a 2 3 a 2 3 a 2 a 2 a 2  a 2 ;  A  ; C1 (a; 0;c) F1 (­ a; 0;c) ;0   D 1 ;0   E 1 ; a 2 a 2   ;  3 a 2 ; c   3 a 2 ; c   ;0   A 1  a 2 ; 3 a 2 ; c   х B a 2 ; 3 a 2 ;0   B 1 a 2 ; 3 a 2 ; c                                                

Правильная треугольная призма. z С 1 a 2 O С 3 a 2 a А1 А х A a 2 ;0;0  A 1 a 2 ;0; c  3 a 2 a 2 ;0;0  ;0   B 1 0; 3 a 2 ; c   C 1  a 2 ;0; c  B 0; C   В 1 c В у                            

Правильная треугольная пирамида. B a 2 ;0;0  C 0; 3 a 2 ;0   A  a 2 ;0;0  S 0; 3 a 6 ; h   z y h 3 a 6 a 2 O 3 a 2 H х                   

Правильная четырехугольная пирамида. z h h a a 2 х B ;0  ; a a 2 2 a a 2 2  ; ;0  S  0;0; h  A a 2 ;  a 2 ;0  C  D y  a 2 ;  a 2 ;0                

Правильная шестиугольная пирамида. z h y a C (a; 0;0) F (­ a; 0;0) D a 2 ;  3 a 2 ;0   A  a 2 ; 3 a 2 ;0   B a 2 ; 3 a 2 ;0   E  a 2 ;  3 a 2 ;0   х S  0;0; h                        

Пример На ребре ВВ1 куба  ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что BK:KB1=3:1.  Найдите угол между прямыми AK и BD1. z B1 K b B D1 D а A1 A x C1 y C 1) a и b – скрещивающиеся прямые.   , zyxbzyxa   , , , , 1 2 2 1 1 2 2)Примем длину ребра куба равной 4 и одно деление    А B  ;0;0;4  ;0;0;0 на каждой из осей за 1. AK BD   3;0;0  4;4;4   K D  1  1  ;3;0;4 .4;4;4    4 20 3  3 15 . 3)   ; BD 1 AK  cos  ∠ BD AK ;   1  4)  arccos  43044  345 3 15 . Ответ:   ; AK  1  BD arccos 3 15 .

Пример  В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите  угол между  прямыми AС1 и СB1. А1 z С 1 С 1) AC1 и CB1 – скрещивающиеся прямые. 2) В1 A C  1 2 1  2 ;0;0  C  1  1 2 ;0;1  ;0;0  B 1 0; 3 2 ;1   1 uuuur  AC  uuur CB 1  1;0;1 1 3 ; 2 2 ;1 х А у В 3) cos   AC CB 1 , 1         1 0 1 2 3  2   1 1 2    1  2 0  2 1 2  1   2 2 3  2  2 1  1 4 Ответ:   AC CB 1 , 1 4)     arccos 1 4 AC CB 1 , 1   arccos 1 4                                       

Пример  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.  Найдите угол между прямыми АS и ВС. z х Ответ:   AS ; BC   30 1) AS и CB – скрещивающиеся прямые. AC  2 2)По теореме Пифагора                     ,  а  2 3)По теореме Пифагора                     ,    2 B 2 1   0; С ; ;0      1 2 1 2 h    2 2 2 OC  2 2  ; 1 1 2 2 1 1 2 2  ; A y ;0  S 0; 0; 2   2   1     ; ;   AS 1 2 0 0;0;1BC  2  2  1 2 2 2 1 2  1  2     2    2 2 2 1 2 1 2  0 2  1 2 4) cos( ; AS BC )  ∠ 5) AS ; BC 2    1  30                     

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между  Пример прямыми АВ1 и ВF1 z 1) AS и CB – скрещивающиеся прямые.  ; 1 3 2 2 1 3 2 2 ; ;0   ;0   B 1 ; 1 3 2 2  1 F ;1   1;0;1 2) A B х uuur AB uuur BF 1   1 1;0;1  3 2 ;  3 2 ;1 3) cos   AB BF 1 , 1   3       2 1 0 3 2   1 1 2 1  2 0  2 1 2  3  2   2 3  2  2 1  2 8  ∠ 4)  AB 1 ; BF 1  arccos 2 8 . у Ответ:  ∠  AB 1 ; BF 1  arccos 2 8 .                                          

Вывод:      Из рассмотренных способов решений задач самый  рациональный – координатный способ. Используя этот метод и  владея вычислительными навыками, мы можем решать  практически все задачи на нахождение угла между  скрещивающимися прямыми. Для использования других методов  необходимо иметь хорошо развитое логическое и  пространственное мышление.           Таким образом, изучив все методы решения, мы можем  решать олимпиадные задачи и задания ЕГЭ части 2, подбирая к  ним самое рациональное, выгодное и короткое решение. Но  порой встречаются такие задачи, где не просто рационально  решать тем или иным способом,  не хватает данных или  приходится выдумывать дополнительные построения. Зная  несколько способов решения задач ,  мы можем быть  уверенными в том, что справимся с экзаменационными и  олимпиадными задачами.