Презентация к уроку математики в 10 классе по теме "Косинус угла"

Функция определена на всей числовой прямой; Множество значений функции – отрезок [- 1; 1]

 cos(x + 2π) = cos x, -периодическая с периодом Функция y=cos x 2π ( строим график на промежутке длиной 2π , например [- π; π])

 y   o x x Р (0;1) -1 cos x cos x 1 x на рис. видно, что функция y= cos x убывает на отрезке [0; π]



II Построение графика функции y = cosx  с применением тригонометрического круга  - шесть клеток 2 3  2  3  6 0 1  ­ 5 6 II I Ось  косинусов ­1 III  -5 6 -2 - 3 2 0 IY  - - 6 3 y 1 - 2 -2 -5 3 6 III - - 6 3 IY 0  ­1  6  3 I  2    x 5 2 6 3 II

1.Область определения – множество R всех действительных чисел y x График расположен вдоль всей оси OX

 2. Множество значений функции  1  -1 График ограничен линиями У=-1 и У=1

 3.Функция у= cos x периодическая с периодом 2π

 4.Функция y= cos x – четная

 5. У=0 при х= π/2 + πп, пє Z  Наибольшее значение у=1, если х= 2 πп, пє Z  Наименьшее значение у=-1, если х= Наибольшее значение у=1, если х= π+2 πп, пє Z  У>0 на интервале (-π/2 ; π/2 ) и на интервалах со сдвигом на 2 πп  У<0 на интервале (π/2 ; 3π/2 ) и на интервалах со сдвигом на 2 πп

 6. возрастает на (π ; 2π ) и на интервалах , получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πп

на интервалах ,  7. убывает на (0; π ) и получаемых сдвигами этого отрезка на 2 πп

 Пример 1:  найти все корни уравнения cos x= -1/2, принадлежащие отрезку [- π; 2π]  Решение: построим графики функций y= cos x и y= -1/2

 Графики заданных функций пересекаются в точках, отмеченных на графике:  Абсциссы этих точек являются решениями данного уравнения  На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = -1/2 является число arccos (-1/2) = 2π/3.  Следующим решением является число, симметричное относительно оси ОУ: х= - 2π/3.  Третий корень уравнения равен :- 2π/3 + 2π= 4π/3  Ответ : 2π/3; - 2π/3; 4π/3

 Пример 2:  найти все корни уравнения cos x= -1/2, принадлежащие отрезку [- π; 2π]  Решение: построим графики функций y= cos x и y= -1/2

 Пример 2:  Найти все решения неравенства cos x > - ½, принадлежащие отрезку [- π; 2π]  Решение:  Из рисунка видно, что график функции y=cos x лежит выше графика функции у=-1/2 на промежутках (- 2π/3; 2π/3) и (4π/3; 2π)  Ответ : - 2π/3

 № 708 Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих отрезку [0; 3π], функция у=cos x принимает :  1)значение , равное 0  Ответ : π/2; 3π/2; 5π/2  2) значение, равное 1  Ответ : 0; 2π  3) значение , равное -1  Ответ : π; 2 π  4) положительные значения  Ответ: (0; π/2); (3π/2; 5π/2)  5) отрицательные значения  Ответ : (π/2; 3π/2) ; (5π/2; 3π )

функция y=cos x на отрезке:  № 709 Выяснить , возрастает или убывает  1) [3π; 4π]  Ответ : возрастает  2) [- 2π; -π]  Ответ : убывает  3) [2 π; 5π/2]  Ответ : убывает  4) [- π/2; 0]  Ответ : возрастает  5) [1; 3]  Ответ: убывает  6) [- 2; -1]  Ответ : возрастает

 № 710 Разбить данный отрезок на два так, чтобы на одном из них функция y=cos x возрастала, а на другом убывала:  1) ) [π/2; 3π/2]  Ответ : ) [π/2; π] и [π; 3π/2]  2) ) [- π/2; π/2]  Ответ: ) [-π/2; 0] и [ 0 ; π/2]

 № 710 Разбить данный отрезок на два так, чтобы на одном из них функция y=cos x возрастала, а на другом убывала:  3) [0; 3π/2]  Ответ: ) [0; π] и [ π; 3π/2]  4) ) [- π; π/2]  Ответ : ) [- π; 0] ) [0 ; π/2]

функции y=cos x, сравнить числа:  № 711 Используя свойство возрастания или убывания  1) cos π/7 и cos 8π/9  Ответ: на интервале ( 0; π) функция убывает, значит т.к. π/7 < 8π/9, то ) cos π/7 > cos 8π/9  2) cos 8π/7 и cos 10π/7  Ответ: на интервале ( π; 2π ) функция возрастает, значит 8π/7 < 10π/7, то cos 8π/7

функции y=cos x, сравнить числа:  № 711 Используя свойство возрастания или убывания  4) cos(- 8π/7) и cos (-9π/7)  Ответ: на интервале ( -3π/2; -π) функция убывает, значит -8π/7 > -9π/7, то cos(- 8π/7) < cos (-9π/7)  5) cos1 и cos 3  Ответ: на интервале ( 0; π) функция убывает, значит т.к. 1 < 3,то cos1 > cos 3  6) cos 4 и cos 5  Ответ: на интервале ( π; 2π) функция возрастает, значит 4< 5, то cos4 < cos 5 т.к. т.к.

 №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :  1) cos x = ½  Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = 1/2 является число х=arccos (1/2) = π/3, на промежутке [ π; 2π] - , х=π/3+ 3 π/2=11π/6, на промежутке [ 2π; 3π] - , х=π/3+ +2π=7π/3  Ответ: х= π/3; х=11 π/6; х=7π/3

 №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :  2) cos x = /2  Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = /2 является число х= arccos ( /2) = π/4 . На отрезке [ π; 2 π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 7 π/4. На отрезке [ 2π; 3π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = π/4+2 π= 9π/4  Ответ : х= π/4 ; х= 7π/4 ; х= 9π/4

 №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :  3) cos x= - /2  Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x =- /2 является число х= arccos ( - /2) = 3π/4 . На отрезке [ π; 2 π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 5 π/4. На отрезке [ 2π; 3π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 3 π/4+2 π= 11π/4  Ответ : х=3π/4 ; х=5 π/4 ; х=11π/4

 №712 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π] :  4) cos x = - ½  Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x =- 1/2 является число х=arccos (-1/2) = 2π/3, на промежутке [ π; 2π] - , х=π/3+ π=4π/3, на промежутке [ 2π; 3π] - , х=2π/3+ +2π=8π/3  Ответ: х= 2π/3; х=4π/3; х=8π/3

принадлежащие отрезку [0; 3π] :  № 713.Найти все решения неравенства,  1) cos x ≥ 1/2  Решение :  По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен выше графика функции у=1/2 на промежутках ([ 0; π/3 ] и [ 11 π/6; 7π/3 ]  Ответ : [ 0; π/3 ] и [ 11 π/6; 7π/3 ]

принадлежащие отрезку [0; 3π] :  № 713.Найти все решения неравенства,  2) cos x ≥- 1/2  Решение :  По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен выше графика функции у=-1/2 на промежутках ([ 0;2π/3 ] и [ 4 π/3; 8π/3 ]  Ответ : [ 0; 2π/3 ] и [ 4 π/3; 8π/3 ]

принадлежащие отрезку [0; 3π] :  № 713.Найти все решения неравенства,  3) cos x <- /2  Решение :  По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен ниже графика функции у=- /2 на промежутках (3π/4;5π/4 ) и ( 11 π/4; 3π)  Ответ : (3π/4;5π/4 ) и ( 11 π/4; 3π)

принадлежащие отрезку [0; 3π] :  № 713.Найти все решения неравенства,  4) cos x < /2  Решение :  По рисунку видно, что график функции y=cos x расположен ниже графика функции у= /2 на промежутках ( 0; π/6 ) и (11 π/6; 13π/6 )  Ответ : ( 0; π/6 ) и (11 π/6; 13π/6 )

 № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:  Ответ : sin π/7  1) cos π/5 и sin π/5  Решение: sin π/5= sin (π/2 - 3π/5)= cos 3π/10. Сравним cos π/5 и cos 3π/10; π/5 < 3π/10, значит cos π/5 > cos 3π/10, а значит cos π/5 > sin π/5  Ответ : cos π/5 > sin π/5  2) sin π/7 и cos π/7  Решение: sin π/7= sin (π/2 - π/7)= cos 5π/14. Сравним cos π/7 и cos 5π/14; π/7 < 5π/14, значит cos π/7 > cos 5π/14, а значит cos π/7 > sin π/7

 № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:  3) cos 3π/8 и sin 5π/8  Решение: sin 5π/8= sin (π/2 + π/8)= cos π/8. Сравним cos 3π/8 и cos π/8; π/8 < 3π/8, значит cos 3π/8 < cos π/8, а значит cos 3π/8 < sin 5π/8  Ответ : cos 3π/8 < sin 5π/8  4) sin 3π/5 и cos π/5  Решение: sin 3π/5= sin (π/2 + π/10)= cos π/10. Сравним cos 3π/5 и cos π/10; 3π/5 > π/10, значит cos 3π/5 < cos π/10, а значит sin 3π/5< cos π/5  Ответ : sin 3π/5< cos π/5

 № 714 Выразите синус через косинус по формулам приведения , сравните числа:  5) cos π/6 и sin 5π/14  Решение: sin 5π/14= sin (π/2 - π/7)= cos π/7. Сравним cos π/6 и cos π/7; π/6 > π/7, значит cos π/6 < cos π/7, а значит cos π/6 < sin 5π/14  Ответ : cos π/6 < sin 5π/14  6) cos π/8 и sin 3π/10  Решение: sin 3π/10= sin (π/2 - π/5)= cos π/5. Сравним cos π/8 и cos π/5; π/8 < π/5, значит cos π/8 > cos π/5, а значит cos π/8 > sin 3π/10  Ответ : cos π/8 > sin 3π/10

 № 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :  1) cos 2x= ½  Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 2x = 1/2 является число 2х=arccos (1/2) = π/3. Решая уравнение 2х = π/3, получим х = π/6  Ответ : х = π/6

 № 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :  2) cos 3x= /2  Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 3x = /2 является число 3х=arccos ( /2) = π/6. Решая уравнение 3х = π/6, получим х = π/18  Ответ : х = π/18

 № 716 Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :  1) cos 2x< ½  Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 2x = 1/2 является число 2х=arccos (1/2) = π/3. Решая неравенство π/3 <2х < 3π/2, получим π/6 < х < 3π/4  Ответ : π/6 < х < 3π/4

 № 716. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :  2) cos 3x> /2  Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем уравнения cos 3x = /2 является число 3х=arccos ( /2) = π/6. Решая неравенство 0< 3х < π/6, получим 0< х <π/18  Ответ : 0< х <π/18

 № 717 Построить график функции и выяснить её свойства:  1) y=1+cos x  Решение : График функции y=cos x+1 получается из графика функции y=cos x смещением по оси ОУ на 1 единицу. у 2 y=cos x +1 1 - π/2 0 π/2 π 3π/2 Cвойства функции: 1) ООФ – вся числовая прямая

Z  2) Область значений функции - [ 0; 2]  3) Периодическая с периодом - 2π  4) четная  5) принимает значение, равное 0, при х= π+2 πn, nє  Наибольшее значение , равное 2, принимает при x= 0, nє Z и в точках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z  Наименьшее значение, равное 0, принимает при x= π и в точках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z .  Положительные значения на интервале на всей числовой прямой, кроме точек, в которых значение функции равно 0.  Отрицательных значений у функции нет.  6)Возрастает на отрезке (π; 2π) и на отрезках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z  7) Убывает на отрезке (0; π) и на отрезках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z

 № 718 Найти множество значений функции y=cos x , если х принадлежит промежутку :  1) [ π/3; π]  Решение : Найдем значения функции на концах промежутка. Cos (π/3) = ½; соs (π)=-1. На заданном промежутке функция строго убывающая, значит, множество значений функции – отрезок [ -1 ; ½ ]  Ответ: [ -1 ; ½ ]

 № 719 Построить график функции :  1) у=|cos x|  Решение: Строим график функции y=cos x , а затем те части графика, где y принимает отрицательные значения, отображаем симметрично оси ОХ  у  0 х