Пример 2:
Найти все решения неравенства cos x > - ½,
принадлежащие отрезку [- π; 2π]
Решение:
Из рисунка видно, что график функции y=cos x лежит
выше графика функции у=-1/2 на промежутках (- 2π/3;
2π/3) и (4π/3; 2π)
Ответ : - 2π/3
функции y=cos x, сравнить числа:
№ 711 Используя свойство возрастания или убывания
1) cos π/7 и cos 8π/9
Ответ: на интервале ( 0; π) функция убывает, значит т.к.
π/7 < 8π/9, то ) cos π/7 > cos 8π/9
2) cos 8π/7 и cos 10π/7
Ответ: на интервале ( π; 2π ) функция возрастает, значит
8π/7 < 10π/7, то cos 8π/7
функции y=cos x, сравнить числа:
№ 711 Используя свойство возрастания или убывания
4) cos(- 8π/7) и cos (-9π/7)
Ответ: на интервале ( -3π/2; -π) функция убывает, значит
-8π/7 > -9π/7, то cos(- 8π/7) < cos (-9π/7)
5) cos1 и cos 3
Ответ: на интервале ( 0; π) функция убывает, значит т.к.
1 < 3,то cos1 > cos 3
6) cos 4 и cos 5
Ответ: на интервале ( π; 2π) функция возрастает, значит
4< 5, то cos4 < cos 5
т.к.
т.к.
№712 Найти все корни уравнения,
принадлежащие отрезку [0; 3π] :
1) cos x = ½
Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения
cos x = 1/2 является число х=arccos (1/2) = π/3,
на промежутке [ π; 2π] - , х=π/3+ 3 π/2=11π/6,
на промежутке [ 2π; 3π] - , х=π/3+ +2π=7π/3
Ответ: х= π/3; х=11 π/6; х=7π/3
№712 Найти все корни уравнения,
принадлежащие отрезку [0; 3π] :
2) cos x = /2
Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x = /2
является число х= arccos ( /2) = π/4 . На отрезке [ π; 2
π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х = 7
π/4. На отрезке [ 2π; 3π;] корнем уравнения cos x = /2
является число х = π/4+2 π= 9π/4
Ответ : х= π/4 ; х= 7π/4 ; х= 9π/4
№712 Найти все корни уравнения,
принадлежащие отрезку [0; 3π] :
3) cos x= - /2
Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x =-
/2 является число х= arccos ( - /2) = 3π/4 . На отрезке
[ π; 2 π;] корнем уравнения cos x = /2 является число х
= 5 π/4. На отрезке [ 2π; 3π;] корнем уравнения cos x =
/2 является число х = 3 π/4+2 π= 11π/4
Ответ : х=3π/4 ; х=5 π/4 ; х=11π/4
№712 Найти все корни уравнения,
принадлежащие отрезку [0; 3π] :
4) cos x = - ½
Решение : На отрезке [0; π] корнем уравнения cos x =-
1/2 является число х=arccos (-1/2) = 2π/3, на промежутке [
π; 2π] - , х=π/3+ π=4π/3, на промежутке [ 2π; 3π] - ,
х=2π/3+ +2π=8π/3
Ответ: х= 2π/3; х=4π/3; х=8π/3
принадлежащие отрезку [0; 3π] :
№ 713.Найти все решения неравенства,
1) cos x ≥ 1/2
Решение :
По рисунку видно, что график функции y=cos x
расположен выше графика функции у=1/2 на
промежутках ([ 0; π/3 ] и [ 11 π/6; 7π/3 ]
Ответ : [ 0; π/3 ] и [ 11 π/6; 7π/3 ]
принадлежащие отрезку [0; 3π] :
№ 713.Найти все решения неравенства,
2) cos x ≥- 1/2
Решение :
По рисунку видно, что график функции y=cos x
расположен выше графика функции у=-1/2 на
промежутках ([ 0;2π/3 ] и [ 4 π/3; 8π/3 ]
Ответ : [ 0; 2π/3 ] и [ 4 π/3; 8π/3 ]
принадлежащие отрезку [0; 3π] :
№ 713.Найти все решения неравенства,
3) cos x <- /2
Решение :
По рисунку видно, что график функции y=cos x
расположен ниже графика функции у=- /2 на
промежутках (3π/4;5π/4 ) и ( 11 π/4; 3π)
Ответ : (3π/4;5π/4 ) и ( 11 π/4; 3π)
принадлежащие отрезку [0; 3π] :
№ 713.Найти все решения неравенства,
4) cos x < /2
Решение :
По рисунку видно, что график функции y=cos x
расположен ниже графика функции у= /2 на
промежутках ( 0; π/6 ) и (11 π/6; 13π/6 )
Ответ : ( 0; π/6 ) и (11 π/6; 13π/6 )
№ 714 Выразите синус через косинус по
формулам приведения , сравните числа:
Ответ : sin π/7
1) cos π/5 и sin π/5
Решение: sin π/5= sin (π/2 - 3π/5)= cos 3π/10.
Сравним cos π/5 и cos 3π/10; π/5 < 3π/10, значит
cos π/5 > cos 3π/10, а значит cos π/5 > sin π/5
Ответ : cos π/5 > sin π/5
2) sin π/7 и cos π/7
Решение: sin π/7= sin (π/2 - π/7)= cos 5π/14.
Сравним cos π/7 и cos 5π/14; π/7 < 5π/14, значит
cos π/7 > cos 5π/14, а значит cos π/7 > sin π/7
№ 714 Выразите синус через косинус по
формулам приведения , сравните числа:
3) cos 3π/8 и sin 5π/8
Решение: sin 5π/8= sin (π/2 + π/8)= cos π/8.
Сравним cos 3π/8 и cos π/8; π/8 < 3π/8, значит cos
3π/8 < cos π/8, а значит cos 3π/8 < sin 5π/8
Ответ : cos 3π/8 < sin 5π/8
4) sin 3π/5 и cos π/5
Решение: sin 3π/5= sin (π/2 + π/10)= cos π/10.
Сравним cos 3π/5 и cos π/10; 3π/5 > π/10, значит
cos 3π/5 < cos π/10, а значит sin 3π/5< cos π/5
Ответ : sin 3π/5< cos π/5
№ 714 Выразите синус через косинус по
формулам приведения , сравните числа:
5) cos π/6 и sin 5π/14
Решение: sin 5π/14= sin (π/2 - π/7)= cos π/7.
Сравним cos π/6 и cos π/7; π/6 > π/7, значит cos
π/6 < cos π/7, а значит cos π/6 < sin 5π/14
Ответ : cos π/6 < sin 5π/14
6) cos π/8 и sin 3π/10
Решение: sin 3π/10= sin (π/2 - π/5)= cos π/5.
Сравним cos π/8 и cos π/5; π/8 < π/5, значит cos
π/8 > cos π/5, а значит cos π/8 > sin 3π/10
Ответ : cos π/8 > sin 3π/10
№ 715 Найти все корни уравнения,
принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :
1) cos 2x= ½
Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем
уравнения cos 2x = 1/2 является число
2х=arccos (1/2) = π/3. Решая уравнение 2х
= π/3, получим х = π/6
Ответ : х = π/6
№ 715 Найти все корни уравнения,
принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :
2) cos 3x= /2
Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем
уравнения cos 3x = /2 является число
3х=arccos ( /2) = π/6. Решая уравнение
3х = π/6, получим х = π/18
Ответ : х = π/18
№ 716 Найти все решения неравенства ,
принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :
1) cos 2x< ½
Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем
уравнения cos 2x = 1/2 является число
2х=arccos (1/2) = π/3. Решая неравенство
π/3 <2х < 3π/2, получим π/6 < х < 3π/4
Ответ : π/6 < х < 3π/4
№ 716. Найти все корни уравнения,
принадлежащие отрезку [ -π/2; 3π/2] :
2) cos 3x> /2
Решение: На отрезке [ -π/2; 3π/2] корнем
уравнения cos 3x = /2 является число
3х=arccos ( /2) = π/6. Решая неравенство
0< 3х < π/6, получим 0< х <π/18
Ответ : 0< х <π/18
№ 717 Построить график функции и выяснить её
свойства:
1) y=1+cos x
Решение : График функции y=cos x+1 получается
из графика функции y=cos x смещением по оси ОУ
на 1 единицу.
у
2 y=cos x +1
1
- π/2 0 π/2 π 3π/2
Cвойства функции: 1) ООФ – вся числовая прямая
Z
2) Область значений функции - [ 0; 2]
3) Периодическая с периодом - 2π
4) четная
5) принимает значение, равное 0, при х= π+2 πn, nє
Наибольшее значение , равное 2, принимает при x=
0, nє Z и в точках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z
Наименьшее значение, равное 0, принимает при x= π
и в точках, получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z .
Положительные значения на интервале на всей
числовой прямой, кроме точек, в которых значение
функции равно 0.
Отрицательных значений у функции нет.
6)Возрастает на отрезке (π; 2π) и на отрезках,
получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z
7) Убывает на отрезке (0; π) и на отрезках,
получаемых сдвигом на 2 πn, nє Z
№ 718 Найти множество значений функции
y=cos x , если х принадлежит промежутку :
1) [ π/3; π]
Решение : Найдем значения функции на концах
промежутка. Cos (π/3) = ½; соs (π)=-1. На
заданном промежутке функция строго
убывающая, значит, множество значений
функции – отрезок [ -1 ; ½ ]
Ответ: [ -1 ; ½ ]
№ 719 Построить график функции :
1) у=|cos x|
Решение: Строим график функции y=cos x , а
затем те части графика, где y принимает
отрицательные значения, отображаем
симметрично оси ОХ
у
0 х
косинус (2).ppt
