Изучение квадратичной функции расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Изучение свойств функций имеет огромное развивающее значение для учащихся: они учатся вырабатывать алгоритм действий при решении задач, на основе исследований делать выводы, строить зависимости между величинами. Исследование свойств функции применяется для решения широкого спектра задач.
\
Квадратичная
функция
Автор: Крылова Алина Викторовна
учитель математики
МБОУ «Видновская СОШ
№2» Московсеая область
Ленинский
район
г. Видное
2019 год
vedvalya
Квадратный трехчлен
Квадратным трёхчленом называется
•
многочлен 2-ой степени, то есть
выражение вида , где a ≠ 0, b, c -
(обычно заданные) действительные
числа, называемые его
коэффициентами, x - переменная
величина.
Квадратное уравнение
Если стоит задача, определить значения
переменной х, при которых квадратный
трёхчлен принимает нулевые значения,
т.е. ax2 + bx + c = 0, то имеем квадратное
уравнение.
ax2 + bx + c = 0
Квадратный трехчлен
Если существуют действительные
корни x1 и x2 некоторого квадратного
уравнения, то соответствующий трёхчлен
можно разложить на линейные
множители:
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Квадратный трехчлен
Квадратный трёхчлен также можно
представить в виде:
Квадратичная функция
Квадратичной функцией называется
функция, заданная формулой y = f(x), где f(x)
квадратный трёхчлен. Т.е. формулой вида
y = ax2 + bx + c, где a ≠ 0, b, c любые
действительные числа. Или преобразованной
формулой вида .
График квадратичной
функции
Графиком квадратичной функции
является парабола, вершина которой
находится в точке
График квадратичной
функции
Построить эскиз графика квадратичной
функции можно по характерным точкам.
Например, для функции y = x2 берем точки
x 0 1 2 3
y 0 1 4 9
Соединяя их от руки, строим правую
половинку параболы. Левую
получаем симметричным
отражением относительно оси
ординат.
Свойства квадратичной
функции
o Область определения функции - вся
числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
o Область значений функции зависит от
знака коэффициента a. При a > 0 ветви
параболы направлены вверх, функция
имеет наименьшее (ymin), но не имеет
наибольшего значения: E(f) = [ ymin; ∞);
при a < 0 ветви параболы направлены
вниз, функция имеет наибольшее
(ymax), но не имеет наименьшего
значения:E(f) = (−∞; ymax ].
Свойства квадратичной
функции
o В общем случае функция у = ax2 + bx +
c не является ни четной, ни нечетной.
Осью симметрии параболы является
прямая x = −b/2a. Функция будет
четной только в случае, когда эта
прямая совпадает с осью Oy, т.е. при b
= 0.
o При a > 0 функция монотонно убывает
на промежутке (−∞; −b/2a) и монотонно
возрастает на промежутке (−b/2a; ∞).
При a < 0 функция монотонно
возрастает на промежутке (−∞; −b/2a)
и монотонно убывает на промежутке
Свойства квадратичной
функции
•
o В точке x = −b/2a при a < 0 достигается
максимум, а при a > 0 — минимум
функции. Оба значения определяются
по формуле . Точка с координатами
является вершиной параболы.
o Функция непрерывна на всей области
определения.
o Асимптот не имеет.
Свойства квадратичной
функции
o Парабола пересекает ось ординат
•
в точке (0;c). Если квадратный
трёхчлен имеет действительные
корни ≠ , то парабола пересекает
ось абсцисс в точках (;0) и (;0). При
= парабола касается оси абсциc в
точке (;0).
Построение графиков
квадратичной функции
o https://umath.ru/calc/graph/?&func=
онлайн
sin(x);%20e%5Ex;
o http://www.yotx.ru/
o http://matematikam.ru/calculate-onli
ne/grafik.php
o https://graph.reshish.ru/
Квадратичная функция.pptx
