Задания 14 на ЕГЭ.
Координатно векторный метод.
Углы в пространстве.
Пентяшкина ТП учитель
МБОУ СОШ №1
с. ВольноНадеждинское
Содержание
Теория
Задачи
Тренировочные
задания
Полезные
замечания
Общий алгоритм
для решения
Угол между
прямыми
Угол между
прямой и
плоскостью
Примеры удобного
задания системы
координат
Угол между
плоскостями
Тип 1
Тип 2
Тип 3
Полезные замечания:
1. Любую задачу 14 можно решить методом
координат.
2. Метод координат – не единственный метод
решения задач 14
3. Метод координат универсален, потому что
есть алгоритм решения для любого типа
заданий 14.
4. Целесообразно задавать систему координат
специальным способом для разных объектов.
5. Целесообразно изображать плоскость Оху и
основание геометрического тела в ней
отдельно.
4/2/17
Общий алгоритм для решения С2 методом
координат
1. Ввести прямоугольную систему координат (выбор зависит
от объекта).
2. Выписать координаты всех необходимых точек.
3. Вычислить координаты необходимых векторов.
4. Применить формулу, выполнить вычисления.
5. Записать ответ.
4/2/17
Примеры «удобного» задания системы координат для
разных объектов
Прямоугольный параллелепипед Правильная пирамида
1
2
y
y
1
3
2
х
х
y
3Ra
Ra
х
Правильная шестиугольная призма
2Ra
в правильном
треугольнике
в правильном
шестиугольнике
в правильном
четырехугольнике
1. Начало координат в центре описанной
(вписанной) около основания окружности
2. Ось Оz – проходит по высоте пирамиды
4/2/17
ur
p
а
;
1
r
q
Угол между прямыми
ur
p x y z
;
1
r
q x y z
;
-направляющие
вектора прямых
b
;
2
1
2
2
cos
,
a b
y y
x x
1 2
1 2
2
2
z
x
y
2
1
1
2
z z
1 2
y
2
2
x
1
2
2
z
2
Задачи1.1; 1.2; 1.3;1.4
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью называется угол
между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
β
r
n
ur
p
α
α
угол между прямой и плоскостью
sin
)
90
cos
sin(
β
– угол между прямой и
перпендикуляром
к плоскости
Чтобы найти синус угла между прямой
и плоскостью можно найти косинус угла
между прямой и перпендикуляром к
плоскости
0
уравнение плоскости
вектор нормали к плоскости
направляющий вектор прямой
;
cz d
ax by
r
n a b c
;
ur
p x y z
;
1
r ur
,n p
;
1
1
sin
ax
1
2
b
by
1
2
2
c
x
1
cz
1
2
y
1
2
z
1
2
a
Задачи 2.1;2.2:2.3
Уравнение плоскости
(1) aх+by+cz+d=0 – общий вид уравнения плоскости
вектор
_
;
cban
;
плоскости
Через три точки проходит плоскость и притом только одна
Т.к. точки принадлежат плоскости,
то их координаты удовлетворяют уравнению (1)
Составляем и решаем систему уравнений
Находим коэффициенты a, b, c, d
4/2/17
Угол между плоскостями.
Угол между плоскостями равен углу между
перпендикулярами к этим плоскостям.
a x b y
c z dуравнение плоскости
1
1
1
a x b y
c z dуравнение плоскости
2
2
2
r
n
0
0
ur
m
1
2
1
;
1
;
cbam
;
1
;
cban
;
nm
cos
2
2
2
aa
bb
21
21
2
2
2
c
a
b
2
1
1
cc
21
2
b
2
2
a
1
c
2
2
Например:
3
4
2
4
x
x
ur
m
2;3;6
r
n
4;4;2
uurr
;
m n
cos
y
y
zуравнение плоскости
6
5 0
zуравнение плоскости
2
7 0
2
2
4 2 3 4 6 2
2
2
4
3
6
2
2
4
16
21
2
2
Задачи 3.1; 3.2; 3.3
№ 1.1. В правильной шестиугольной призме все
ребра равны 1. Найдите косинус угла между
прямыми АВ1 и ВF1
1
3
2 2
;
;0
z
у
A
B
1
1
3
2 2
;
;1
B
х
3
1
2 2
;
;0
F1 ( 1; 0;1)
uuur
AB
1 1;0;1
uuur
BF
1
3
2
;
3
2
;1
-направляющие
вектора прямых
cos
AB BF
1
,
1
3
2
1 0
3
2
1 1
2
1
2
0
2
1
2
3
2
2
3
2
2
1
2
8
Ответ:
2
8
№1. 2. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между
прямыми PQ и EF, P – середина АА1, Q – середина С1D1 ,
Е – середина ВВ1, F – середина DC.
z
P
cos
х
Ответ:
,
PQ EF
1
3
4
Q
E
F
Р (4; 0; 2)
Q (0; 2; 4)
E (4; 4; 2)
F (0; 2; 0)
uuur
PQ
4;2;2
uuur
EF
4; 2; 2
у
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
1
3
2
№ 1.3. Ребро куба равно 3. Найдите угол между
прямыми AE и BF, если
C B
1 1
C F
BE
.
z
,
BC
1
3
A (3; 0; 0)
1
Е (2; 3; 0)
В (3; 3; 0)
F (1; 3; 3)
1
3
uuur
AE
1;3;0
uuur
BF
2;0;3
130
65
2
2
3
F
cos
х
AE BF
,
AE BF
,
arccos
130
65
E
у
2
2
0
1
Ответ:
0 3 0 3
1
2
0
130
arccos
65
2
3
2
2
№ 1.4. В правильной треугольной призме все
ребра равны 1. Найдите угол между прямыми
z
AС1 и СB1.
С
1
uuuur
AC
1
1;0;1
uuur
CB
1
1
3
2 2
;
;1
А1
А
х
В
1
В
С
A
1
2
;0;0
C
1
C
1
2
1
2
B
1
0;
;0;1
;0;0
3
2
;1
у
uuuur
AC
1
1;0;1
uuur
CB
1
3
1
2 2
;
;1
cos
AC CB
1
,
1
1
0
1
2
3
2
1 1
2
1
2
0
2
1
2
1
2
2
3
2
2
1
1
4
AC CB
1
,
1
arccos
1
4
Ответ:
arccos
1
4
№2.1. В единичном кубе найдите угол между
прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где Е –
середина В1С1,
BF
1
3
BB
1
A1 (1; 0; 1)
Е (0,5; 1; 1)
F
1;1;
1
3
A (1; 0; 0)
B1 (1; 1; 1)
ur uuur
p AB
ur
1
p
0;1;1
z
1
х
E
F
1
1
у
Запишем уравнение
плоскости (А1EF):
cz d
0
0
ax by
a c d
1
2
1;1;
A1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1)
F
4
3
7
3
7
3
cx
4
3
x
4
уравнение плоскости (А1EF).
1
3
2
cy
3
2
3
y
7 0
cz
3
z
2
c
0
0
x
y
z
a b c d
0
a b
1
3
c d
0
4
3
2
3
a
b
d
c
c
7
3
c
x
4
r
n
ur
p
sin
3
2
y
7 0
вектор нормали к плоскости
z
4; 2;3
0;1;1
направляющий вектор прямой
r ur
,n p
4 0 2 1 3 1
2
2
1
2
5
58
2
3
2
0
2
1
2
4
5
58
arcsin
Ответ:
arcsin
5
58
№2. 2. В правильной шестиугольной призме все
ребра равны 1. Найдите синус угла между
ur uuur
прямой AВ1 и плоскостью (АСF1).
p AB
;0
1
ur
p
1
3
2 2
z
1;0;1
;
A
B
1
1
3
2 2
;
;1
Запишем уравнение
плоскости (АСF1):
х
у
A
3
1
2 2
;
;0
C (1; 0;0)
F1 ( 1; 0;1)
3
dy
dx
2
dz d
0
cz d
0
b d
0
a
ax by
3
1
2
2
0
a c d
a d
0
x
3
y
2
z
1 0
уравнение плоскости (АСF1).
a
b
c
d
2
3
d
d
z
1 0
вектор нормали к плоскости
направляющий вектор прямой
3
y
x
2
r
n
1; 3; 2
ur
1;0;1
p
r ur
,n p
sin
2
1
3 0 2 1
1 1
2
3
4
3
2
2
2
1
Ответ:
2
2
1
0
3
4
№ 2.3. В правильной четырехугольной пирамиде
ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите
угол между прямой ВЕ, где Е середина SC и
плоскостью (АDS).
ur uuur
p BE
z
E
х
2;2;0
B
E
1;1;3
ur
p
3; 1;3
Запишем уравнение
плоскости (АSD):
y
D
2; 2;0
0
ax by
cz d
a
2
b d
0
2
2
2
b d
a
0
c d
6
0
0
A
S
2; 2;0
0;0;6
1
2
y
3
0
dx
0
x
dy
dz d
1
6
6 0
z
уравнение плоскости (АSD).
a
b
c
0
1
2
d
1
6
d
вектор нормали к плоскости
направляющий вектор прямой
6 0
y
3
z
x
0
r
n
0;3; 1
ur
p
3; 1;3
r ur
,n p
sin
arcsin
2
3
2
1
3
3 0 3
1
2
3
1
1
6
190
Ответ:
arcsin
2
2
0
6
190
6
190
2
3
№ 3.1. В единичном кубе найдите угол между
плоскостями (АСD1) и (ВDC1).
z
х
A (1; 0; 0)
C (0; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
C1 (0; 1; 1)
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
Запишем уравнения
плоскостей (АСD1) и
(BDC1):
у
ax by
a d
b d
c d
cz d
a
0
b
0
c
0
0
d
d
d
A (1; 0; 0)
C (0; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
0
d
a b d
b c d
0
0
d
a
c
0
b
b
0
dx dy dz d
z
y
x
1 0
ur
1
ACD
m
1;1;1
bx by bz
z
y
x
0
1
DBC
1; 1;1
0
r
n
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
uurr
;
m n
cos
ur r
;
m n
1 1 1 1 1 1
2
2
2
1
1
1
Ответ:
arccos
2
1
1
3
2
1
1
3
2
1
1
3
arccos
№ 3.2. В правильной треугольной призме все ребра равны
1. Найдите угол между плоскостями (АВС1) и (А1В1С).
С
1
С
z
А1
А
х
A
C
1
1
2
A
1
;0;0
1
2
1
2
;0;1
;0;1
B
0;
3
2
;0
B
1
0;
3
2
;1
В
1
C
1
2
;0;0
Запишем уравнения
плоскостей (АBС1) и
(A1B1C):
В
у
A
1
2
;0;0
ax by
a d
1
2
0
cz d
0
b d
0
a c d
0
c
2
2
a
b
d
2
3
d
a
b
d
2
d
2
3
d
2
r
n
2
dx
d
ur
m
2
x
2;
2
dx
2
x
2
3
2
3
2
3
dy
2
3
2
2
y
z
3
; 2
2
dz d
0
1 0
1
ABC
dy
2
dz d
0
y
2
z
1 0
2;
2
3
; 2
A B C
1 1
B
0;
C
1
3
2
1
2
;0
;0;1
A
1
1
2
;0;1
3
2
;1
;0;0
B
1
0;
C
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
a c d
0
b c d
0
a d
0
c
ur
m
2;
2
3
; 2
r
n
2;
; 2
2
3
uurr
;
m n
cos
2 2
2
3
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2 2
2
2
3
1
7
2
2
ur r
;
m n
arccos
1
7
Ответ:
arccos
1
7
№3. 3. В правильной шестиугольной призме ребро
основания равно 1, а боковое ребро – 2. Найдите
угол между плоскостями (ВА1D1) и (АА1Е1).
1
3
;
2 2
z
B
A
3
1
2 2
;
;0
;0
;2
E
;
1
2
3
2
;0
A
1
;
1
3
2 2
C (1; 0;0)
у
х
Запишем уравнения
плоскостей (А1BC) и
(AA1E):
B
A
1
;0
;
1
3
2 2
3
1
2 2
;
;2
C (1; 0;0)
ax by
0
cz d
3
2
b d
0
b
c d
2
0
3
2
0
a
1
2
a d
1
2
a
d
a
b
c
d
1
3
1
2
d
dx
x
1
3
1
3
dy
y
1
2
1
2
dz d
0
z
1 0
ur
m
1;
1 1
23
;
A BC
1
A
1
3
2 2
;
;0
A
1
1
3
2 2
;
;2
E
;
1
2
3
2
;0
a
ax by
3
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
a
a
cz d
0
b d
0
b
c d
2
0
d
a
b
c
2
0
0
b d
0
y
0
0
2
0
0
z d
dx
1 0
2
x
r
n
0
2;0;0
A AE
1
y
z
ur
m
1;
1 1
23
;
r
n
2;0;0
uurr
;
m n
cos
1 2
2
1
3
1
3
1
2
0
0
1
2
2
2
2
2
0
2
0
2
1
12
19
ur r
m n
;
arccos
12
19
Ответ:
arccos
12
19
Тренировочная работа Угол между прямыми
4/2/17
Тренировочная работа
Угол между прямой и плоскостью
4/2/17
Тренировочная работа
Угол между двумя плоскостями
4/2/17
Литература :
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и
методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2014 (типовые
задания С2) http://alexlarin.net/ege11.html
Задание 14,ЕГЭ математика коорд метод.pptx
