Презентация на тему: «Логарифмические уравнения и методы их решения».

Определение: простейшим логарифмическим
уравнением называется уравнение вида ,
где а>0, а≠1, b- действительное число.

Логарифмическая функция монотонна в своей области определения функции (0;+∞), а областью значений функции является множество всех действительных чисел. Поэтому указанное уравнение всегда имеет один корень. Из определения логарифма следует, что число есть корень данного уравнения.

Рассмотрим примеры.
Пример 1: решить уравнение

-по определению логарифма


Ответ: х=2

Пример 2:

из определения логарифма
получаем равенство:

но т. к. X>0, то единственным корнем данного
уравнения является число х=3
Ответ: х=3

Пример 3:

По определению логарифма имеем:

Проверка:

Ответ: {-1;6}.

Пример 4:

Данное уравнение определено при тех значениях Х , для которых выполняются условия:

Учитывая эти условия, можно записать равносильное уравнение:

Т.к. 4>2,5, то заданное число является решением исходного уравнения.
Ответ: х=4

Пример 5:

Введем новую переменную:

Тогда получим квадратное уравнение:

Корнями которого являются числа: t=2 и t=3

Возвращаемся теперь к сделанной ранее замене переменной, получим 2 уравнения:

и

Т.к. оба числа положительны, то они являются корнями исходного уравнения.

Ответ:{9;27}

Пример 6:

По свойству логарифмов получаем:

Выполним проверку:

Ответ: {0;7}

Пример 7: решить систему уравнений

При решении данной системы уравнений нужно учитывать,
что второе уравнение определено только для
значений x>0, y>0.Преобразуем это уравнение к
виду , откуда или х=10у.Подставляя х=10у

в уравнение, получим уравнение10у+у=11. Значит у=1,
тогда х=10. Поскольку х=10>0, у=1>0,
то система уравнений имеет решение (10;1)

Ответ: {10;1}