Определение: простейшим логарифмическим
уравнением называется уравнение вида ,
где а>0, а≠1, b- действительное число.
Логарифмическая функция монотонна в своей области определения функции (0;+∞), а областью значений функции является множество всех действительных чисел. Поэтому указанное уравнение всегда имеет один корень. Из определения логарифма следует, что число есть корень данного уравнения.
Рассмотрим примеры.
Пример 1: решить уравнение
-по определению логарифма
Ответ: х=2
Пример 2:
из определения логарифма
получаем равенство:
но т. к. X>0, то единственным корнем данного
уравнения является число х=3
Ответ: х=3
Пример 4:
Данное уравнение определено при тех значениях Х , для которых выполняются условия:
Учитывая эти условия, можно записать равносильное уравнение:
Т.к. 4>2,5, то заданное число является решением исходного уравнения.
Ответ: х=4
Пример 5:
Введем новую переменную:
Тогда получим квадратное уравнение:
Корнями которого являются числа: t=2 и t=3
Возвращаемся теперь к сделанной ранее замене переменной, получим 2 уравнения:
и
Т.к. оба числа положительны, то они являются корнями исходного уравнения.
Ответ:{9;27}
Пример 7: решить систему уравнений
При решении данной системы уравнений нужно учитывать,
что второе уравнение определено только для
значений x>0, y>0.Преобразуем это уравнение к
виду , откуда или х=10у.Подставляя х=10у
в уравнение, получим уравнение10у+у=11. Значит у=1,
тогда х=10. Поскольку х=10>0, у=1>0,
то система уравнений имеет решение (10;1)
Ответ: {10;1}
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.