Презентация на тему "Вписанные и описанные окружности"

«Вписанные и  описанные  окружности»

Теорема. В любой треугольник можно  вписать одну и только одну окружность. K B L А O M   Лемма. Серединные перпендикуляры к  сторонам любого треугольника пересекаются в  одной точке. C Теорема. В любой треугольник можно вписать одну и только одну окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно  описать одну и только одну окружность. Теорема. Около любого треугольника можно описать одну и только одну окружность.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ  ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА c B A r a b R p = (a+b+c) S  этого  треугольника  вычисляется  по  формулам: S = pr C S = ra (p – a) = rb (p – b) =  rc (p – c), Где ra, rb, rc – радиусы  соответствующих  вневписанных  окруж­ ностей.

Теорема. Около выпуклого  четырехугольника можно описать окружность  тогда и только тогда, когда сумма  противоположных углов этого  четырехугольника равна 180 º. Теорема. Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырехугольника равна 180 º.

Теорема Птолемея. В четырехугольнике,  вписанном в окружность, произведение диагоналей  равно сумме произведений противоположных сторон.            Если прямые АС и ВD являются осями  симметрии четырехугольника АВСD, то он  – ромб, а так как он вписан в окружность,  то  четырехугольник  АВСD  –  квадрат.  В  этом  случае  равенство  непосредственно  следует из теоремы Пифагора.     Рассмотрим  общий  случай  и  предположим,  что  АВD  ≠  DВС,  например  АВD  <  DВС.  От  ВС  отложим  угол  СВЕ,  равный  углу  АВD,  где  Е  –  точка  на  отрезке СА. Т. к.  ∆ СВЕ ~ ∆ DВА, то ВС ∙ АD =  СЕ  ∙  ВD.  Аналогично,  ∆  АВЕ  ~  ∆  DВС,  поэтому  АВ  ∙  СD  =  АЕ  ∙  ВD.  Сложив  эти  два равенства и учитывая, что АЕ + ЕС =  АС, получаем равенство  АС ∙ ВD = АВ ∙ СD + АD ∙ ВС.

Теорема. В выпуклый четырехугольник можно  вписать окружность тогда и только тогда, когда  суммы его противоположных сторон равны. Теорема. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.