Презентация по дисциплине "Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия" программы подготовки специалистов среднего звена по специальностям 26.02.02 Судостроение и 26.02.02 сварочное производство (первый курс, первый семестр)

Скалярное произведение векторов Преподаватель Сидорова Л.В.

План Координаты вектора. Длина вектора, равенство векторов. Линейные действия над векторами в координатах. Скалярное произведение векторов и следствия из него.

Координаты вектора  На плоскости.  В пространстве. ( zyx , 2 2 B Z , 2 ) Y В 2 yx ,( ) 2 A ,( 1 yx ) 1 X Координатами вектора называют   y a y числа çàïèñûâàþò aèx 1  ÀÂ a a x   ) ( , 2 1 1 2 2 1 2 ( A , zyx 1 1 , 1 ) Y X Координатами вектора называют  a числа a   ax 1 z èy 1 x z ; . y 2 2 2 1 2 1 3 Çàïèñûâàþò  AB ( aaa 1 , , 2 ) 3

Длина вектора  На плоскости.  В пространстве. В  1 aaAB , ( В ) 2  aaaAB 3 ( , , 2 1 ) А А AB (  aa 1 , ) 2  a 2 1  a 2 2 .  ,( 1 aaaAB , 3 2 )  2 a 1 2 a 2 2 a 3 .

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты:   ( aaaa b 3 3 ab , , 2 3 òîãäà   ), , 2 1 1   a 1  )1,2(  )10,11( , ab 1 Решение. 1. Вычислить координаты векторов:    AB AB  ( xCD 2.Составить и решить уравнения X-0=-2, y-1=-1, X=-2, y=0. 3. Ответ: D(-2; 0) ).1 ,0 y   2 )   , bbbb ( , 3 В (-1, 0) 2 С (0, 1) А (1, 1) D (x, y) Даны три точки А(1; 1), В(-1; 0) и С(0; 1). Найти такую точку D(x, y), чтобы векторы и были равны.  CD  ÀÂ

Линейные действия над векторами в координатной форме  Сложение векторов:   Суммой векторов , bbbbèaaaa ( , ) 3  ñ ( )  , , 2 1 3 2 1 cb , 2 3  называется вектор   c ba cba , a с 3 3 1 2 1 2 координатами   aaaa ( bbbb , ,1 3  ( ac 1 ab 2 ab 1 b 3       ) ) ( ) , , , , 2 1 3 2 3 1 2 Пример. Найдите вектор равный сумме векторов  )1;8;4( )0;4;1(  bè  à   и его модуль.   Решение.    )1,8,4( )10,84,41( b c 1.  a )0,4,1(   )1,4,3( c  c  )1,4,3(   2  3  2 4  2 1 2.  9 16  1 .26

Умножение вектора на число  Произведением ,  àààà ) ( вектора 3 на число λ , 2 1 называется вектор  am , 2 1  ( a 3 a ) ,    aaaa ( 3 , , 1 2  am 1  ( a 3 a 2 , ,  ) ) Абсолютная величина вектора равна  a    a Направление вектора   при 0 a a совпадает с направлением  a вектора , если λ > 0, и противоположно ему, если λ < 0.

Скалярным произведением векторов   aaa ( , 1 2 называется число . ba 22 ba 33  , a 3 ) 1 , ( bbbbè , 2 ba 11 ) 3  Скалярное произведение двух одинаковых векторов  àà обозначается и называется скалярным квадратом вектора. 2 à 2  à   à 2

2 3  ( cccc , , 2 1 ) 3 , 1 (  Для любых векторов   aaaa bbbb ), , 3 следует:   ( cbcacba ), ) ( , 1 , 2 .

 ÀÑ  ÀÂ Углом между ненулевыми векторами и называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.  à  b В А  à С  b  à  b  m  n

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.  à  cos Следствия: если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.   b  ba  a  b  Если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.  a 0  ba  b

Условие коллинеарности векторов. Если векторы и коллинеарны, то если координаты векторов не равны нулю. Справедливо и обратное: если координаты векторов пропорциональны  à a b 1 1  a b  a b 3 3 1  2  a b 1 a b 3 3  b 2 2 a b 2 то векторы коллинеарны.

Косинус угла между ненулевыми векторами выражается формулой   bacos    ba   à   b

Задача  Даны вершины треугольника А(1, 1, 0), В(4; 1; 0) и С(4; 5; 0). Найти косинусы углов треугольника. В(4; 1; 0  А(1; 1; 0) С(4; 5; 0)

Решение. Найдём косинус угла α  Вычислить координаты вектора и  0;11;1 )0;0;3(  à  b )0 4(     à  b 4(  5;1  0;1  )0  )0;4;3(  à  b  Вычислить скалярное произведение  векторов )0,0,3( a   9004033)0,4,3( b cos   9 3  Вычислить модули векторов 16      ,3  9 5  a  b 9   По формуле cos 25 9  53  3 5

Домашнее задание:  Геометрия – учебник для общеобразовательных организаций, 10-11 классы, автор Л.С.Атанасян, М, «Просвещение», 2014  Глава IV, § 1,2, вычислить косинусы углов В и С.

С П А С И Б О З А В Н И М А Н И Е!