Презентация по геометрии на тему "Объем конуса" ( 11 класс,геометрия)

Цель: отработка решения задач с использованием формулы объема конуса, рассмотреть решение практических задач с применением формулы; разбор типовых задач ЕГЭ.

Устный опрос

Конус можно получить путем вращения
а) равнобедренного треугольника относительно основания;
б) прямоугольника относительно одной из сторон;
в) прямоугольного треугольника относительно одного из катетов;
г) прямоугольного треугольника относительно гипотенузы.
Измерениями конуса являются ….
Высота, радиус, образующая.
Измерения конуса связаны между собой
а) теоремой о трех перпендикулярах;
б) теоремой Пифагора.

Самостоятельная работа

Вариант 2
Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите 𝑉 𝜋 𝑉𝑉 𝑉 𝜋 𝜋𝜋 𝑉 𝜋 .





Найдите образующую конуса, если его высота равна 4, а объем равен 36𝜋𝜋.
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его радиус уменьшится в 2 раза?

Вариант 1
Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите 𝑉 𝜋 𝑉𝑉 𝑉 𝜋 𝜋𝜋 𝑉 𝜋 .





Объем конуса равен 384𝜋𝜋, а его радиус равен 8. Найдите образующую конуса.
Во сколько раз увеличится объем конуса, если его высоту увеличить в 9 раз?

Историческая справка

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В книге Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе» дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Практическое применение формулы объема конуса

 ” ….Читал я где-то,Что царь однажды воинам своимВелел снести земли по горсти в кучу,И гордый холм возвысился — и царьМог с вышины с весельем озиратьИ дол, покрытый белыми шатрами,И море, где бежали корабли. “
А.С. Пушкин, Скупой рыцарь

Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?

Решение.
Составим математическую модель задачи.
Так как диаметр воронки 6 м и глубина 2 м, то радиус полученного конуса составляет 3 м, а высота – 2 м.
Найдем объем конуса:
𝑉𝑉= 1 3 1 1 3 3 1 3 𝜋𝜋 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 ℎ= 1 3 1 1 3 3 1 3 ∙3,14∙9∙2=18,84 м 3 м м 3 3 м 3
Масса выброшенной земли составляет
𝑀𝑀=18,84∙1650=31086 кг≈31 т.
Ответ: масса выброшенной земли 31 т.

Задача. Будет ли защищен во время грозы дом высотой 6 м, шириной 8 м и длиной 10 м, если высота громоотвода 7 м, а угол между громоотводом и образующей конуса безопасности равен 60°?

Решение задачи

Составим математическую модель задачи.
По определению тангенса 𝑡𝑡𝑔𝑔60°= 𝑅 7 𝑅𝑅 𝑅 7 7 𝑅 7 ,
𝑅𝑅=7 3 3 3 3 ≈12 м,
𝑉 к 𝑉𝑉 𝑉 к к 𝑉 к =𝜋𝜋 49∙3∙7=1029𝜋𝜋≈3231 м 3 м м 3 3 м 3
Объем дома 480 м 3 м м 3 3 м 3
Ответ: дом будет защищен от грозы.

В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
«Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

Задание на самоподготовку

Задания на самоподготовку.

Найти объем конуса, радиус основания которого равен 5, а высота-6.
Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислить объем конуса, если объем цилиндра равен 60.
Во сколько раз увеличиться объем конуса, если радиус его основания увеличиться в 3 раза, а высота уменьшиться в 1,5 раза.
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает2/3 высоты. Объем сосуда 270л.Чему равен объем налитой жидкости.

Подведем итоги

Какое геометрическое тело называется конусом?
Что нужно знать, чтобы найти объем конуса?
Как вычислить объем конуса?