Презентация по геометрии "Векторы"

Векторы

Историческая справка  Термин вектор (от лат. Vector – “ несущий “) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

Что такое вектор? Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами.

Геометрическое понятие вектора  Наиболее наглядно величину и направление одновременно можно задать с помощью направленного отрезка – вектора. Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом.  Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а также AB, CD, … (на первом месте ставится начало вектора). В Конец вектора C D А Начало вектора a b c

 Понятие вектора  Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Понятие вектора  На рисунках вектор изображается отрезком со стрелкой АВ А Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец. В E K D C F L CD EF LK

Задание. Назови вектора и запиши их обозначения. N F E D K M С Сравним ответ

Задание. Назови вектора и запиши их обозначения. N F E D K M DC KK MN С FE

Понятие вектора  Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: b a c  Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом: ММ = 0. М

Понятие вектора  Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ: с АВ = а = АВ = 5 с = 17 a В А  Длина нулевого вектора считается равной нулю: ММ = 0. М

Укажите длину векторов N F L M с E K Сравним ответ

Укажите длину векторов N F L M с E K |EF| = 3 |MN| = 4 |LK| = 5 |c| = 2

Коллинеарные вектора Ненулевые вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых L с K A B Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору b М

Направление векторов  Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. C a F D b K  Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. a ↑↑CD b ↑↑KF

Противоположно направленные вектора Коллинеарные вектора имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами b ↑↓ KL AB ↑↓ c c↑↓ b KL ↑↓ A AB b B L с K

Задача  Какие из векторов, изображенных на рисунке: c d a b 1) коллинеарны; 2) сонаправлены; 3) противоположно направлены;

Задание Назовите соноправленные вектора: Вариант 1 N K A Вариант 2 M L D B C

Задание Назовите противоположно направленные вектора: Вариант 2 K L A D B C Вариант 1 N M

Равенство векторов а d n c s m b f  Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. а = b , если 1) а b 2) а = b

Задание Назовите равные вектора: Вариант 1 N A Вариант 2 K M L D B C

Откладывание вектора от данной точки  Если точка А – начало вектора а , то говорят, что вектор а отложен от точки А. А а  Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. М а Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой

Задача  На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN. а) Укажите сонаправленные, противоположно направленные, равные вектора. б) Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы? L M K N

Сумма двух векторов  Рассмотрим пример: Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал в кинотеатр(К). B D В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК: K DK=DB+BK. Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

Сумма двух векторов Правило треугольника Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b. АС = а + b a a A B b b C

Сложение векторов Сложение векторов Правило треугольника а а А в В в М О N а в+     ВОВААО NО РО  NММО  PNNO О Р KPPN  KN К

А В С F M K H N Д L Постройте векторы: ONNR  KNNR  OR KR  O UTBA  P  CACBBA R S T U

Правило параллелограмма в а а К KOba  О Р в Т  KMPM М К TPMP   KTPT  TM  KP MT

А В С Д F M H K N O L P Постройте векторы: UDAD  TRNR  RD PR HFMF  NF R S T U

Законы сложения векторов 1) а+b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD. C АС = АВ + BС = а+b АС = АD + DС = b+a D a b a 2) (а+b)+c=a+(b+c) A (сочетательный закон) b a b B

Сумма нескольких векторов Правило многоугольника s=a+b+c+d+e+f b a c d e f s n p r m k O k+n+m+r+p=0

Вычитание векторов Вычитание векторов А а а в О ABBOAO   В в Как проверить?  AOABBO 

Противоположные векторы Пусть а – произвольный ненулевой вектор. Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены. a = АВ, b = BA B c -c a b А Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c. Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

Вычитание векторов Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b). Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b. b -b а -b a - b а

Умножение вектора на число Умножение вектора на число а a3 a2 О a2 a3 К a   a аи а 0 противоположно направленные, если 0 сонаправленные, если

Умножение вектора на число Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k≥0 и противоположно направлены при k<0. а - 2a 3 а Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.

в3 а2 От точки N отложите векторы а2 а в3 в в а а N в

Умножение вектора на число Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства: (kn) а = k (na) (сочетательный закон) (k+n) а = kа + na (первый распределительный закон) K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон) 1) 2) 3) Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) = = 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c

Задачи  На рисунке изображен параллелограмм ABCD.Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы? C B A D  В ромбе ABCD lACl = 12см, lBDl = 16см. От вершины A отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите длину вектора EC.  Отметьте две точки A и B. Найдите такую точку X, что: а) AX = XB; б) AX = BX; в) XA = XB.