Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.Наиболее наглядно величину и направление одновременно можно задать с помощью направленного отрезка – вектора. Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом.
Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а также AB, CD, … (на первом месте ставится начало вектора
Историческая справка
Термин вектор (от лат.
Vector – “ несущий “)
впервые появился в 1845
г. у ирландского
математика Уильяма
Гамильтона (1805 –
1865) в работах по
построению числовых
систем.
Что такое вектор?
Понятие вектора возникает там,
где приходится иметь дело с
объектами, которые характеризуются
величиной и направлением: например,
скорость, сила, давление. Такие
величины называются векторными
величинами или векторами.
Геометрическое понятие
вектора
Наиболее наглядно величину и направление одновременно
можно задать с помощью направленного отрезка – вектора.
Направление вектора указывается стрелкой. Точка A
называется началом вектора, а точка B – концом.
Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а
также AB, CD, … (на первом месте ставится начало вектора).
В
Конец
вектора
C
D
А
Начало
вектора
a
b
c
Понятие вектора
Определение.
Отрезок, для которого
указано, какой из его концов
считается началом, а какой -
концом, называется
направленным отрезком или
вектором.
Понятие вектора
На рисунках вектор изображается отрезком со
стрелкой
АВ
А
Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец.
В
E
K
D
C
F
L
CD
EF
LK
Задание.
Назови вектора и запиши их
обозначения.
N
F
E
D
K
M
С
Сравним ответ
Задание.
Назови вектора и запиши их
обозначения.
N
F
E
D
K
M
DC
KK
MN
С
FE
Понятие вектора
Векторы часто обозначают и одной строчной
латинской буквой со стрелкой над ней:
b
a
c
Любая точка плоскости также является вектором,
который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого
вектора совпадает с его концом:
ММ = 0.
М
Понятие вектора
Длиной или модулем ненулевого вектора
АВ называется длина отрезка АВ:
с
АВ = а = АВ = 5
с = 17
a
В
А
Длина нулевого вектора считается равной
нулю:
ММ = 0.
М
Укажите длину
векторов
N
F
L
M
с
E
K
Сравним ответ
Укажите длину
векторов
N
F
L
M
с
E
K
|EF| = 3
|MN| = 4
|LK| = 5
|c| = 2
Коллинеарные
вектора
Ненулевые вектора называются
коллинеарными, если они лежат
на одной прямой или на
параллельных прямых
L
с
K
A
B
Нулевой вектор считается
коллинеарным любому
вектору
b
М
Направление векторов
Если два ненулевых
вектора коллинеарны и
направлены одинаково,
то эти векторы
называются
сонаправленными.
C
a
F
D
b
K
Нулевой вектор
сонаправлен с любым
вектором.
a ↑↑CD b ↑↑KF
Противоположно
направленные вектора
Коллинеарные вектора имеющие
противоположное направление,
называются противоположно
направленными векторами
b ↑↓ KL AB
↑↓ c
c↑↓ b KL ↑↓
A
AB
b
B
L
с
K
Задача
Какие из векторов,
изображенных на
рисунке:
c
d
a
b
1) коллинеарны;
2) сонаправлены;
3) противоположно
направлены;
Задание
Назовите соноправленные вектора:
Вариант 1
N
K
A
Вариант 2
M
L
D
B
C
Задание
Назовите противоположно
направленные вектора:
Вариант 2
K
L
A
D
B
C
Вариант 1
N
M
Равенство векторов
а
d
n
c
s
m
b
f
Определение.
Векторы
называются
равными, если
они
сонаправлены и
их длины равны.
а = b , если
1) а b
2) а = b
Задание
Назовите равные вектора:
Вариант 1
N
A
Вариант 2
K
M
L
D
B
C
Откладывание вектора
от данной точки
Если точка А – начало вектора а , то
говорят, что вектор а отложен от точки А.
А
а
Утверждение: От любой точки М можно
отложить вектор, равный данному вектору
а, и притом только один.
М
а
Равные векторы, отложенные от разных точек,
часто обозначают одной и той же буквой
Задача
На рисунке изображена равнобедренная
трапеция KLMN.
а) Укажите сонаправленные, противоположно
направленные, равные вектора.
б) Укажите векторы, длины которых равны.
Равны ли при этом сами векторы?
L
M
K
N
Сумма двух векторов
Рассмотрим пример:
Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом
поехал в кинотеатр(К).
B
D
В результате этих двух перемещений, которые
можно представить векторами DB и BK, Петя
переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК:
K
DK=DB+BK.
Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.
Сумма двух векторов
Правило треугольника
Пусть а и b – два вектора. Отметим
произвольную точку А и отложим от этой
точки АВ = а, затем от точки В отложим
вектор ВС = b.
АС = а + b
a
a
A
B
b
b
C
Сложение векторов
Сложение векторов
Правило треугольника
а
а
А
в
В
в
М
О
N
а в+
ВОВААО
NО
РО
NММО
PNNO
О
Р
KPPN
KN
К
А
В
С
F
M
K
H
N
Д
L
Постройте векторы:
ONNR
KNNR
OR
KR
O
UTBA
P
CACBBA
R
S
T
U
Правило
параллелограмма
в
а
а
К
KOba
О
Р
в
Т
KMPM
М
К
TPMP
KTPT
TM
KP
MT
А
В
С
Д
F
M
H
K
N
O
L
P
Постройте векторы:
UDAD
TRNR
RD
PR
HFMF
NF
R
S
T
U
Законы сложения
векторов
1) а+b=b+a (переместительный закон)
Правило параллелограмма
Пусть а и b – два вектора. Отметим
произвольную точку А и отложим от этой
точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих
векторах построим параллелограмм АВСD.
C
АС = АВ + BС = а+b
АС = АD + DС = b+a
D
a
b
a
2) (а+b)+c=a+(b+c)
A
(сочетательный закон)
b
a
b
B
Сумма нескольких
векторов
Правило многоугольника
s=a+b+c+d+e+f
b
a
c
d
e
f
s
n
p
r
m
k
O
k+n+m+r+p=0
Вычитание векторов
Вычитание векторов
А
а
а
в
О
ABBOAO
В
в
Как проверить?
AOABBO
Противоположные
векторы
Пусть а – произвольный ненулевой
вектор.
Определение. Вектор b называется
противоположным вектору а, если а и b имеют
равные длины и противоположно направлены.
a = АВ, b = BA
B
c
-c
a
b
А
Вектор, противоположный вектору c, обозначается так:
-c.
Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0
Вычитание векторов
Определение. Разностью двух векторов
а и b называется такой вектор, сумма которого с
вектором b равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо
равенство а - b = а + (-b).
Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.
b
-b
а
-b
a - b
а
Умножение вектора на число
Умножение вектора на число
а
a3
a2
О
a2
a3
К
a
a
аи
а
0
противоположно направленные, если 0
сонаправленные, если
Умножение
вектора на число
Определение. Произведением ненулевого
вектора а на число k называется такой вектор b,
длина которого равна вектору k а , причем векторы
а и b сонаправлены при k≥0 и
противоположно направлены при k<0.
а
-
2a
3
а
Произведением нулевого вектора на любое число считается
нулевой вектор.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и
ka коллинеарны.
в3
а2
От точки N отложите
векторы
а2
а
в3
в
в
а
а
N
в
Умножение
вектора на число
Для любых чисел k, n и любых векторов а, b
справедливы равенства:
(kn) а = k (na) (сочетательный закон)
(k+n) а = kа + na (первый распределительный закон)
K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)
1)
2)
3)
Свойства действий над векторами позволяют в
выражениях, содержащих суммы, разности векторов и
произведения векторов на числа, выполнять
преобразования по тем же правилам, что и в числовых
выражениях. Например,
p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c
Задачи
На рисунке изображен параллелограмм
ABCD.Укажите векторы, длины которых равны.
Равны ли при этом сами векторы?
C
B
A
D
В ромбе ABCD lACl = 12см, lBDl = 16см. От вершины
A отложен вектор AE, равный вектору BD. Найдите
длину вектора EC.
Отметьте две точки A и B. Найдите такую точку X,
что: а) AX = XB; б) AX = BX; в) XA = XB.
векторы.ppt
