Презентация по математике 10 класс "Функция арккосинус"

Занимательная математика АЛГЕБРА И НАЧАЛА  МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА,  10 КЛАСС. УРОК НА ТЕМУ: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИ Е УРАВНЕНИЯ. АРККОСИНУС.  Составила: Магометова Хадижат Назиевна МБОУ СОШ №1 с. Кизляр 2018г.

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ:  Что такое арккосинус? Обозначение арккосинуса. Немного истории понятия. Определение. Таблица значений арккосинуса. Пример

Ребята, мы с вами уже изучили функцию y=cos(x), построили ее график и  решали некоторые уравнения, например cos(x)= 1/2. Для решения нашего уравнения требовалось провести прямую x= 1/2 и  что  прямая  посмотреть в каких точках она пересекает числовую окружность.  Видно  пересекает  окружность  в  двух  точках  F  и  G,  эти  точки  и  есть  решения  уравнения,  переобозначим  F  как  x1,  а  G  как  x2.  Решение  уравнения  мы  находили  довольно  таки  легко  и  получили   π /3 + 2 k, а x2= ­ нашего  π /3+2 k.  π x1 =  π Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Что такое арккосинус? Решить  данное  уравнение  довольно  таки  просто,  но  как  решить  например  уравнение  cos(x)=4/7.  Очевидно  что  это  уравнение  будет  иметь  так  же  два  корня,  но  какие  будут  соответствовать решению на числовой  окружности? значения

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение cos(x)=4/7 Обозначение арккосинуса. Как  мы  и  говорили  решениями  нашего  уравнения  будут  две  точки  F=  x1+2 k  и  G=x2+2 k. Но, что это за точки? π π Столкновшись  с  этой  проблемой,  математики,  много  лет  назад,  решили  что  надо  придумать  некоторый  способ  описания  решения  на  математическом  языке.  И  был  придуман  новый  символ  –  arccos(x). Будем читать как арккосинус. Тогда  решения  нашего  уравнения  запишутся  как: x1=arccos(4/7)  x2=­arccos(4/7) Тогда решение в общем виде: π x= arccos(4/7) +2 k и x= ­arccos(4/7) +2 k  Арккосинус это угол(длина дуги AF, AG)  π косинус которого равен 4/7

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. История происхождения понятия. Немного истории. Символ  arccos  появляется  впервые  в  18  веке  в  работах  математика  Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа, несколько  ранее  понятие  арккосинус  уже  рассматривал  Д.  Бернули,  правда  записывал  совсем другими символами.  Общепринятыми  эти  символы  стали  лишь  в  конце  XVIII  столетия.  Приставка  «arc»  происходит  от  латинского  «arcus»  (лук,  дуга),  что  вполне согласуется со смыслом понятия: arccos x, например, ­ это угол  (а можно сказать и дуга), косинус которого равен x. Жоз ф Лу  Лагр нж ие ее ае

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Определение. Если |а|≤ 1, то arccos(a) – это такое число из отрезка [0;  косинус которого равен а. Определение. ], π Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x)  = a имеет решение: x= ± arccos(a) +  2 k π

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Определение. Есть три случая в которых предпочитают записывать более  простым способом решения: cos(x)=0,  то x=  π /2 +  k cos(x)=1, то x= 2 kπ π π  + 2 k cos(x)=­1, то x=  π Так же стоит записать важное равенство: Для любого ­1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство arccos(a) + arccos(­a) = π при решение заданий удобнее использовать: arccos(­a) =  π  ­ arccos(a), где ­1 ≤ а ≤ 1

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Таблица значений арккосинуса. Таблица значений косинуса: Напишем таблицу значений косинуса наооборот и  получим таблицу для арккосинуса Таблица значений арккосинуса:

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Пример Вычислить а) arccos(­√3/2) б) arccos(√2/2) в) arccos(1)  Решение: a) Пусть arccos(­√3/2)= x, тогда cos(x)= ­√3/2 и по определению 0≤ x ≤  посмотрим значения косинуса в таблице:  π x=5 /6, т.к. cos(5 /6)= ­√3/2 и 0 ≤ 5 /6 ≤  Ответ: arccos(­√3/2)=5 /6π π π π ,π б) Пусть arccos(√2/2) = x, тогда cos(x)= √2/2 и по определению 0≤ x ≤  посмотрим значения косинуса в таблице:  x= /4, т.к. cos( Ответ: arccos(√2/2)= /4π π /4)= √2/2 и 0 ≤  π /4 ≤  π π ,π в) Пусть arccos(1) = x, тогда cos(x)= 1и по определению 0≤ x ≤  посмотрим значения косинуса в таблице:  значит  x=0, т.к. cos(0)= 1и 0 ≤ 0 ≤ π Ответ: arccos(1)=0 ,π

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Пример Решить уравнение а) cos(x) = ­√2/2 б) cos(x) = 0 в) cos(x) = 1/2  Решение: π π  – arccos(√2/2 )=  π  ­ arccos(a): /4 = 3 /4 тогда x= а) Воспользуемся определением и получим: x= ± arccos(­√2/2 ) + 2 kπ Воспользуемся формулой arccos(­a) =  π π π π arccos(­√2/2 )=   ± 3 /4 + 2 k  –  π π Ответ: x= ± 3 /4 + 2 k б) Воспользуемся определением и получим: x= ± arccos(0) + 2 kπ π /2, подставим в формулу решения: x= arccos(0) =  π Ответ: x= ±  в) Воспользуемся определением и получим: x= ± arccos(1/2) + 2 kπ π arccos(1/2) =  /3, подставим в формулу решения: x= π π /3 + 2 k Ответ: x= ±  π π /2 + 2 k π /2 + 2 k  ±  π π /3 + 2 k  ±

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Пример Решить неравенство cos(x)> ­0.3 Решение: Косинус  это  абсцисса  точки  числовой  значит  нам  надо  окружности,  ­  абсцисса  найти  такие  точки  ­0.3.  Нарисуем  которых  больше  прямую  пересекает  она  x=­0.3,  числовую окружность в двух точках:  F и G.  Неравенству  x>  ­0.3  соответствуют  точки дуги GF. Точкам F и G соответствуют абсциссы: ±arccos(­0.3)= ±( ­ arccos(0.3)), π   запишем  аналитическую  запись  дуги  GF: π ­ + arccos(0.3)

Тригонометрические уравнения. Арккосинус. Задачи для самостоятельного решения. 1) Вычислить  а) arccos(√3/2) б) arccos(­1/2) в) arccos(0) г) arccos(­0.5)    2) Решить уравнение  а) cos(x) = ­1/2 б) cos(x) = 1 в) cos(x) = √ 3/2  г) cos(x) = 0.25 д) cos(x) = ­1.2 3) Решить неравенство cos(x)> 0.6 4) Решить неравенство cos(x)≤ 0.2