Вычисления значений числа ПИ Ребусы на тему числа
Вычисления значений числа ПИ
Ребусы на тему числа ПИ
«ПИ вокруг нас»
Практическое применение числа ПИ
Как можно рассчитать число ПИ
История числа «Пи»
Количество знаков в числе
Как запомнить число ПИ
Квадратура круга
История числа "пи
История числа "пи
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
Последнее положение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон
Последнее положение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что p =3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...
Уильям ДЖОНС впервые использовал букву греческого алфавита
1706 - этот год стал первым, когда для обозначения важного в математике отношения длины окружности к длине ее диаметра валлийский математик Уильям ДЖОНС впервые использовал букву греческого алфавита ПИ.
Спустя полтора столетия в Европе
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число p только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этомФ.Виет первым заметил, что p можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью.
В наше время труд вычислителей заменили
В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов. В современной математике число p - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа p и числа e следующим образом:
e2 pi = 1, где i - мнимая единица .
Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа p.
На главную страницу
Вычисления значений числа ПИ
Вычисления значений числа ПИ
В Древнем Египте при вычислении площади круга для «ПИ» использовали значение
В Древнем Египте при вычислении площади круга для «ПИ» использовали значение
Древнеримский архитектор Витрувий принимал
Древнеримский архитектор Витрувий принимал
Так что Архимед нашёл более точное приближение для числа «Пи»
Так что
Архимед нашёл более точное приближение для числа «Пи». Он показал, что
Напишем по два раза три нечётных числа: 1, 1, 3, 3, 5, 5
Напишем по два раза три нечётных числа:
1, 1, 3, 3, 5, 5.
Три последних числа сделаем числителем, а три первых – знаменателем дроби .
Эта дробь позволяет вычислить ПИ с точностью до седьмого знака.
Числовой фокус китайского астронома Цю Шунь-Ши
Периметр такого многоугольника и принимался равным числу
в окружность с диаметром, равным единице, мысленно вписывали правильный многоугольник с большим числом сторон и вычисляли периметр этого многоугольника, привлекая «формулу удвоения». Периметр такого многоугольника и принимался равным числу ПИ. Для оценки погрешности такого приближения приходилось рассматривать также периметры правильных описанных многоугольников
Чтобы вычислить приближенно число ПИ, в течение многих столетий поступали так:
На главную страницу
Секреты и советы Число "Пи"
Секреты и советы
Число "Пи"
Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик
Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.
Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.
История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.
История
На протяжении всего существования числа
На протяжении всего существования числа Пи, вплоть до наших дней, велась своеобразная "погоня" за десятичными знаками числа Пи.
Леонардо Фибоначчи около 1220 года определил три первых точных десятичных знаков числа Пи.
В 1844 году З.Дазе вычисляет 200 знаков после запятой числа
В 1844 году З.Дазе вычисляет 200 знаков после запятой числа Пи,
1853 году У.Шенкс получает 513 знаков
С появлением компьютеров темпы возросли: 1949 год- 2037 десятичных знаков (Джон фон
С появлением компьютеров темпы возросли:
1949 год- 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC). 1958 год- 10000 десятичных знаков (Ф.Женюи, IBM-704). 1961 год- 100000 десятичных знаков (Д.Шенкс, IBM-7090). 1973 год- 10000000 десятичных знаков (Ж.Гийу, М.Буйе, CDC-7600). Последние рекорды принадлежат японцу Тамуре Канада:
в 1995 году 4294967286 знаков,
в 1997 - 51539600000,
Первые 1000 знаков после запятой числа π
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Первые 1000 знаков после запятой числа π
Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3
Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π
«Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.
По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой
Факты
Неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми
Неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми.
Неизвестна точная мера иррациональности (англ.) для чисел π и π2 (но известно, что для π она не превышает 7,6063)
До сих пор ничего неизвестно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз
Нерешённые проблемы
На главную страницу
Практическое значение числа «Пи»
Практическое значение числа «Пи».
Из истории Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного
Из истории
Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона. В науке найдено соотношение, связывающее важнейшие константы: постоянную тонкой структуры (?), число пи ( ) и золотое отношение (Ф), вытекающее из чисел Фибоначчи:
Храм царя Соломона
Храм царя Соломона
Сферы применения числа Число пи используется везде где есть вращение и динамика, при вычислении всех формул высшей математики
Сферы применения числа
Число пи используется везде где есть вращение и динамика, при вычислении всех формул высшей математики.
Астрономия. Космонавтика. Авиация . Архитектура. Строительство. Машиностроение. Навигация. Кораблевождение. Физика. Электроника. Электротехника. Информационные технологии. Теория вероятностей.
Пример использования ВЫЧИСЛЕНИЕ
Пример использования
ВЫЧИСЛЕНИЕ ШАГА ВОЗДУШНОГО ВИНТА САМОЛЁТА
Шаг винта — одна из основных технических характеристик воздушного или гребного винта, зависящая от угла атаки его лопастей при их круговом движении в газовой или жидкостной среде. — расстояние, пройденное поступательно винтом, ввинчивающимся в твердую среду, за один полный оборот (360°).
Угол атаки воздушного винта
Угол атаки воздушного винта
Турбовинтовой двигатель с соосной установкой винтов изменяемого шага
Турбовинтовой двигатель с соосной установкой винтов изменяемого шага.
Инженеры и математики редко используют число пи с точностью выше тысячи знаков после запятой
Инженеры и математики
редко используют число пи
с точностью выше тысячи знаков
после запятой.
Неофициальный праздник
День числа пи отмечается 14 марта,
которое в американском формате дат
(месяц/день) записывается как 3,14,
что соответствует приближенному
значению константы.
Число можно вычислять бесконечно, и у него бесконечно много знаков
заключение
Число можно вычислять бесконечно, и у него бесконечно много знаков. В настоящее время значение числа известно с точностью до 500 миллиардов знаков и это далеко не конец…
На главную страницу
ВОКРУГ НАС
ВОКРУГ НАС
В БЫТУ
В БЫТУ
В КУЛИНАРИИ
В КУЛИНАРИИ
Боди-арт НЕ ПОВТОРЯТЬ!!! ОПАСНО
Боди-арт
НЕ ПОВТОРЯТЬ!!! ОПАСНО ДЛЯ ЖИЗНИ!!!
Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием
Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле
Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему… целый дворец
Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему… целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить Пи. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.
Фирма Givenchy выпустила туалетную воду под названием … «PI»
Фирма Givenchy выпустила туалетную воду под названием … «PI».
В 1998 году в США вышел фильм «ПИ» о гениальном математике
В 1998 году в США вышел фильм «ПИ» о гениальном математике.
Он ищет закономерность числа ПИ для того, чтобы открыть тайны Вселенной…
Кейт Баш (Kate Bush) в 2005 году выпустила песню под названием «пи»
Кейт Баш (Kate Bush) в 2005 году выпустила песню под названием «пи».
На главную страницу
Загадки и ребусы с числом ПИ
Загадки и ребусы с числом ПИ
Короткий и забавный ребус Правильный ответ:
Короткий и забавный ребус
Правильный ответ: Параллелепипед
Интересная математическая задача из спичек
Интересная математическая задача из спичек
ответ
ответ
Александр Маковейчук из Львова прислал белый стих, который несложно выучить, и заодно запомнить 40 знаков числа
Александр Маковейчук из Львова прислал белый стих, который несложно выучить, и заодно запомнить 40 знаков числа Пи: 3 14 15 92 и 6 5 3 5 и 8 9 79 32 38 46 и 2 6 4 33 83 2 7 9 50 28 8 и 4 и 1 971 Кто еще знает варианты запоминания Пи?
И еще стихотворение с присутствием
И еще стихотворение с присутствием Пи, наверняка известное вам, из Алисы в переводе Б. Заходера: Математик и Козлик Делили пирог. Козлик скромно сказал: - Раздели его вдоль! - Тривиально! - сказал Математик. - Позволь, Я уж лучше Его разделю поперек! - Первым он ухватил Первый кус пирога. Но не плачьте, Был тут же наказан порок: "Пи" досталось ему (А какой в этом прок?!) А Козленку... Козленку достались Рога!
На главную страницу
Что я знаю о кругах?” (3,1416 ); “Вот и знаю я число, именуемое
“ Что я знаю о кругах?” (3,1416 );
“Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!” ( 3,1415927 );
“Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать” ( 3,14159265359 ).
ЗАПОМИНАЛКИ
Количество букв в каждом слове равно соответствующей цифре числа Пи, проверьте! Первую тройку, естественно, отделите точкой.
Это я знаю и помню прекрасно - "Пи" многие знаки мне лишни, напрасны.
3.14159265358
Пи Про число "ПИ" - 3,1415926
3.14 - день числа Пи
Про число "ПИ" - 3,1415926 Гордый Рим трубил победу Над твердыней Сиракуз; Но трудами Архимеда Много больше я горжусь. Надо нынче нам заняться, Оказать старинке честь, Чтобы нам не ошибаться, Чтоб окружность верно счесть, Надо только постараться И запомнить все как есть Три - четырнадцать - пятнадцать - девяносто два и шесть!
Пи Чтобы нам не ошибаться, Надо правильно прочесть:
3.14 - день числа Пи
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим -
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь.
Подумаем, как легче запомнить значение
Подумаем, как легче запомнить значение Пи? Это можно сделать, например, с помощью старинного двустишья. Оно написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это двустишие: Кто и шутя, и скоро пожелаетъ "Пи" узнать число - ужъ знаетъ. Количество букв в каждом слове равно соответствующей цифре числа Пи, проверьте! Первую тройку, естественно, отделите точкой.
3.14 - день числа Пи
Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд, запомнив 30 миллионов знаков числа
17 июня 2009 года украинский нейрохирург, доктор медицинских наук, профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд, запомнив 30 миллионов знаков числа Пи, которые были напечатаны в 20 томах текста.
3.14 - день числа Пи
3.14 - день числа Пи На главную страницу
3.14 - день числа Пи
На главную страницу
Метод Монте-Карло Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в него четверть круга
Метод Монте-Карло
Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в него четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов от капель внутри квадрата Nквадрата и внутри четверти круга Nкруга.
Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно, тогда
Вместо следов от капель можно рассмотреть случайные числа от 0 до 1
И тогда каждому следу капель поставим в соответствие два случайных числа вдоль осей Ох и Оу. Если окажется, что для точки (xi, yi) выполняется неравенство
, то, значит, она лежит внутри круга. Если
, то точка лежит вне круга.
PROGRAM METOD1; USES CRT; VAR
PROGRAM METOD1;
USES CRT;
VAR
X,Y,P: REAL;
I,NKV,NKR:INTEGER;
BEGIN
CLRSCR;
TEXTBACKGROUND(2);
TEXTCOLOR(7);
RANDOMIZE;
WRITELN(' ***ВЫЧИСЛЕНИЕ пи***');
WRITELN;
WRITELN (' *** МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ***');
WRITELN;
WRITE (‘ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО КАПЕЛЬ В КВАДРАТЕ?‘);
READLN(NKV);
WRITELN;
NKR:=0;
FOR I:=0 TO NKV DO
BEGIN
X:=RANDOM;
Y:=RANDOM;
IF X*X+Y*Y<=1 THEN NKR:=NKR+1;
END;
P:=4*NKR/NKV;
WRITELN(‘ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА Pi РАВНО: ‘,P:7:6);
READLN;
END.
ROGRAM METOD2; USES CRT; VAR F,
ROGRAM METOD2;
USES CRT;
VAR
F, DX, P, X, A: REAL;
I, N:INTEGER;
BEGIN
CLRSCR;
TEXTBACKGROUND(2);
TEXTCOLOR(7);
WRITELN(' ***ВЫЧИСЛЕНИЕ пи***');
WRITELN;
WRITELN (' *** МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ***');
WRITELN;
WRITE (‘ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА? ‘);
READLN(N);
WRITELN;
DX:=1/N;
FOR I:=0 TO N-1 DO
BEGIN
F:=SQRT(1-SQR(X));
X:=X+DX;
A:=A+F;
END;
P:=4*DX*A;
WRITELN(‘ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА Pi РАВНО: ‘,P:7:6);
READLN;
END.
Метод прямоугольников
Метод Тейлора ROGRAM METOD3; USES
Метод Тейлора
ROGRAM METOD3;
USES CRT;
VAR
S, P, F: REAL;
I, N:INTEGER;
BEGIN
CLRSCR;
TEXTBACKGROUND(2);
TEXTCOLOR(7);
WRITELN(' ***ВЫЧИСЛЕНИЕ пи***');
WRITELN;
WRITELN (' *** МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ***');
WRITELN;
WRITE (‘ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ЧЛЕНОВ РЯДА ТЕЙЛОРА? ‘);
READLN(N);
WRITELN;
S:=1;
FOR I:=1 TO N DO
BEGIN
F:=1/(2*I+1);
IF I MOD 2=0 THEN F:=F ELSE F:=-F;
S:=S+F;
END;
P:=4*S;
WRITELN(‘ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА Pi РАВНО: ‘,P:7:6);
READLN;
END.
Свои данные исследования я занёс в следующую таблицу:
Свои данные исследования я занёс в следующую таблицу:
Значение N | 10 | 25 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 | 2000 | 5000 | 10000 |
Метод Тейлора | 3,232316 | 3,103145 | 3,161199 | 3,151493 | 3,146568 | 3,143589 | 3,142592 | 3,142092 | 3,141793 | 3,141693 |
Метод Монте-Карло | 3,200000 | 3,520000 | 3,360000 | 3,280000 | 3,340000 | 3,232000 | 3,100000 | 3,190000 | 3,139200 | 3,135600 |
Метод Прямоугольников | 3,304518 | 3,212196 | 3,178269 | 3,160417 | 3,151177 | 3,145487 | 3,143555 | 3,142580 | 3,141989 | 3,141791 |
Вывод: во всех методах вычисления - чем больше значение N (либо – количество капель в квадрате, либо – количество членов ряда Тейлора, либо – количество точек деления отрезка), тем более точнее вычисляется приближённое значение числа . Из всех трёх методов более точнее работает метод Тейлора
Метод "Падающей иголки" Я взял обыкновенную швейную иголку и лист бумаги
Метод "Падающей иголки"
Я взял обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе провёл несколько параллельных прямых так, чтобы расстояние между ними были равны и совпадали с длиной иголки. Чертёж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами.
На этот лист я бросал сверху иглу и подсчитывал, сколько раз при данном числе бросаний игла пересечёт одну из параллелей (безразлично какую).
Число бросания иглы (n) Количество пересечений линий иглой (m) 1 20 15 0,75 2 30 22 0,733333 3 40 27 0,675 4 50 33 0,66…
№ опыта | Число бросания иглы (n) | Количество пересечений линий иглой (m) | |
1 | 20 | 15 | 0,75 |
2 | 30 | 22 | 0,733333 |
3 | 40 | 27 | 0,675 |
4 | 50 | 33 | 0,66 |
5 | 60 | 45 | 0,75 |
6 | 70 | 51 | 0,72857 |
7 | 80 | 53 | 0,6625 |
8 | 90 | 58 | 0,644444 |
9 | 100 | 67 | 0,67 |
10 | 120 | 77 | 0,641667 |
Результат отношения
Свои результаты я занёс в таблицу:
Вывод: при большем числе бросаний (n) дробь
и это равенство будет тем точнее, чем больше будет число бросаний.
На главную страницу
Проблема квадратуры круга
Проблема квадратуры круга
Неразрешимость Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x 2 = π,…
Неразрешимость
Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x2 = π, откуда: x = π
Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня
Отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.
Приближённое решение
Приближённое решение
В данную окружность вписывается квадрат. К утроенному диаметру окружности прибавляется пятая часть стороны этого квадрата. Длина получившегося отрезка отличается от длины окружности меньше, чем на 1 / 17000.
На главную страницу
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
