Презентация по математике "Моделирование"

Использование моделированияна уроках математики для формирования метапредметных результатов

Использование моделирования имеет два аспекта. Во-первых, моделирование является темсодержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть, и во- вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Л.М.Фридман

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:
моделирование – преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково-символическая);
преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Этапы математического моделирования

1. Формализация – перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи).
2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).
3.Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения).

Построение модели. Вынесение элементов задачи и их отношений открывает связи и зависимости между величинами, это иногда сразу ведет к открытию решения. Однако во многих задачах перевод текста на язык графики является только началом анализа, а для решения требуется дальнейшая работа со схемами. Именно здесь возникает необходимость формирования у учащихся умения работать с моделями, преобразовывать их.

Математика не только создала разнообразные внутренние модели алгебры, геометрии, но и помогает другим наукам построить математические модели.
Математическое моделирование применяется в физике, химии, географии, информатике.

Любая математическая задача состоит из условия (утверждения), вопроса или требования. Причем, в задаче обычно не одно, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними.

Требований в заданиях тоже может быть несколько. Они могут быть сформулированы, как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью (словесной).

В структуре любой задачи выделяют:
1. Предметную область, то есть объекты, о которых идет речь в задаче.
2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.
3. Требования задачи.

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.
Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают.

Длина Волги 3530 км, Днепр на 1330 км короче Волги, а Урал длиннее Днепра на 228 км. Какова длина реки Урал?

Ученики записывают ее кратко так:
длина Волги – 3530 км;
длина Днепра - ?, на 1330 км короче Волги;
длина Урала - ?, на 228 км длиннее Днепра.

Привезли 12 ящиков яблок по 30 кг в каждом и 8 ящиков груш по 40 кг в каждом. Какова масса всех фруктов?

Таблица – это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок или чертеж. Она предполагает уже хорошее знание учащимися взаимозависимостей пропорциональных величин, так как сама таблица этих взаимозависимостей не показывает. Поэтому при первичном знакомстве с такой задачей таблица мало помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие.

Движение является темой для самых разнообразных задач. Существует самостоятельный тип задач «на движение». Он объединяет такие задачи, которые решаются на основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, временем и расстоянием. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.

Модель решения задачи по физике и математике Движение навстречу друг другу

Задачи на движение двух тел в одном направлении

На ребре AA1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 1 : 2, на ребре BB1— точка F так, что B1F : FB = 1 : 5, а точка T — се­ре­ди­на ребра B1C1. Из­вест­но, что AB = 4, AD = 2, AA1 = 6.
а) До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D1.
б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью EFT и плос­ко­стью BB1C1.

E(4;0;4) F(0;0;5) T(0;1;6) D(4;2;6)
Три вектора 𝒂 𝒂𝒂 𝒂 , 𝒃, 𝒃𝒃, 𝒃, 𝒄 𝒄𝒄 𝒄 , отложенные от одной точки, называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Для них выполняется условие: x 𝒂 𝒂𝒂 𝒂 + y 𝒃 𝒃𝒃 𝒃 = 𝒄 𝒄𝒄 𝒄
𝑭𝑬 𝑭𝑭𝑬𝑬 𝑭𝑬 𝟒;𝟎;−𝟏 𝟒𝟒;𝟎𝟎;−𝟏𝟏 𝟒;𝟎;−𝟏 𝑭 𝑫 𝟏 𝑭𝑭 𝑫 𝟏 𝑫𝑫 𝑫 𝟏 𝟏𝟏 𝑫 𝟏 𝑭 𝑫 𝟏 𝟒;𝟐;𝟏 𝟒𝟒;𝟐𝟐;𝟏𝟏 𝟒;𝟐;𝟏 𝑭𝑻 𝑭𝑭𝑻𝑻 𝑭𝑻 𝟎;𝟏;𝟏 𝟎𝟎;𝟏𝟏;𝟏𝟏 𝟎;𝟏;𝟏

𝟒𝒙+𝟎𝒚=𝟒 𝟎𝒙+𝒚=𝟐 −𝒙+𝒚=𝟏 𝟒𝒙+𝟎𝒚=𝟒 𝟎𝒙+𝒚=𝟐 −𝒙+𝒚=𝟏 𝟒𝟒𝒙𝒙+𝟎𝟎𝒚𝒚=𝟒𝟒 𝟒𝒙+𝟎𝒚=𝟒 𝟎𝒙+𝒚=𝟐 −𝒙+𝒚=𝟏 𝟎𝟎𝒙𝒙+𝒚𝒚=𝟐𝟐 𝟒𝒙+𝟎𝒚=𝟒 𝟎𝒙+𝒚=𝟐 −𝒙+𝒚=𝟏 −𝒙𝒙+𝒚𝒚=𝟏𝟏 𝟒𝒙+𝟎𝒚=𝟒 𝟎𝒙+𝒚=𝟐 −𝒙+𝒚=𝟏 𝟒𝒙+𝟎𝒚=𝟒 𝟎𝒙+𝒚=𝟐 −𝒙+𝒚=𝟏 x =1, y =2