Данная презентация создана в помощь учителю при изучении темы " Гипербола", она помогает наглядным образом продемонстрировать виды расположения графиков дробно-рациональной функции и основные свойства гиперболы.
Презентация универсальна и не зависит от выбранного учебника, она может быть использована для уроков повторения и при подготовке к ОГЭ.
Гиперболой называется множество всех таких
точек плоскости, для которых модуль разности
расстояний до двух фиксированных точек
положительная
плоскости
величина.
постоянная
есть
Обозначим фиксированные точки F1 и F2.
Эти точки называют фокусами гиперболы, а середи
ну отрезка F1F2 – центром гиперболы.
Введем обозначения:
(
1
2
FF
2
a – действительная полуось гиперболы
b – мнимая полуось гиперболы
cF
2
)0;(
cF
1
)0;
c
Для любой точки М(х,у), принадлежащей
выполняется
гиперболе, по
равенство:
определению
2
MF
2
a
MF
1
21
FF
2
c
1M
2M
3M
1F
c2
2F
1
MFMF
1
MF
1
MF
1
2
1
MF
2
MF
2
2
3
3
2
2
a
2
a
2
a
2
a < c
По определению 2a < 2c
Выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси
Ox симметрично относительно начала координат.
Найдём координаты фокусов:
Пусть М(x,y) – произвольная точка гиперболы.
2
MF1
{
MF2
{
MFMF
1
MF1
MF2
2
)
c
y
},
yc
},
yc
)0,(2 cFи
2)
2)
x
x
cF
(1
y
y
2
)0,
(
(
a2
c
c
x
x
(
x
2
y
2
(
x
c
)
2
(
x
c
)
2
2
y
(
x
2
c
)
2
y
a2
(
x
c
)
2
2
y
(
x
2
c
)
2
2
y
a
Избавляясь от корней, можно получить
a
(
22
ya
2
aa
(
x
c
c
)
2
)
2
2
2
2
2a < 2c
a < c
2
c
2
a
0
Обозначим через
Тогда получаем
2
y
b
x
a
2
2
2
b
c
2
22
xb
2
a
22
ya
2
c
2
b
2
, то есть
a
22
ba
1
– каноническое уравнение
гиперболы
2
2
x
a
2
2
y
b
1
Каноническое уравнение
гиперболы
Исследование формы гиперболы
2
2
x
a
2
2
y
b
1
1. Ox и Oy – оси симметрии, начало
координат – точка симметрии
2. Найдём точки пересечения с осями координат.
0x
точек пересечения с осью Oy нет
1
2
y
2
b
2
x
a
2
0y
1
x
a
(–a, 0) и (a, 0) – точки
пересечения с осью Ox
Точки A1 (–a, 0) и A2 (a, 0) называются вершинами
гиперболы.
Пусть и .)
,0(1
B
,0(2
B
b
b
)
1F
1A
2B
1B
2A
2F
21AA
1BB
2
a
Отрезки и , а также их длины
2a и 2b называют соответственно действительной и
мнимой осями гиперболы.
Числа
действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Прямоугольник, образованный прямыми x=± a и y=± b
называют основным прямоугольником гиперболы.
соответственно
и
b
называют
2
2
2
2
x
a
2
2
x
a
2
2
2
2
y
b
1
x
a
1
1
0
1
y
2
2
b
x
a
x3.
a
, то есть гипербола лежит вне полосы,
образованной прямыми x= ± a.
В силу симметричности относительно оси Oy,
гипербола состоит из двух частей, называемых
ветвями гиперболы.
4. Средствами математического анализа можно
исследовать на возрастание и убывание,
на выпуклость и вогнутость.
Если |x| увеличивается, то |y| – увеличивается.
5. Можно показать, что прямые являются
x
b
y
a
асимптотами гиперболы
2B
1B
1F
1A
2A
2F
2
2
2
2
– гипербола, но фокусы лежат на оси Oy,
1)
y
b
1
x
a
ветви направлены вверх и вниз.
2)
(
x
x
0
2
a
2
)
(
y
2
)
0
y
2
b
1
– гипербола с центром,
смещённым в точку (x0;y0).
гипербола.ppt
