Презентация по математике на тему "Касательная. Уравнение касательной" (10 - 11 классы)

ТЕМА УРОКА: «Касательная. Уравнение  касательной»

Девиз урока: • Плохих идей не бывает • Мыслите творчески • Рискуйте  • Не критикуйте

План урока I Организационный момент II Актуализация материала III Подготовка к изучению нового материала IV Изучение нового материала V Закрепление  изученного материала  VI Подведение итогов урока

II Актуализация материала Согласны ли вы с утверждением: • «Касательная – это прямая, имеющая с  данной кривой одну общую точку»

y y  =  x2 y  = 2х ­ 1 1 x y y  = cos x х  = 1 ­π y  =  ­1 π x х =π 1y  = ­1xyy  = cos x­ππxyy  =  x2х  = 1y  = 2х ­ 1х =π

Цель урока 1) Ввести понятие касательной к графику  функции в точке, выяснить, в чём  состоит геометрический смысл  производной, вывести уравнение  касательной и научить находить его для  конкретных функций. 2) Развитие логического мышления,  исследовательских навыков,  функционального мышления,  математической речи.  3) Выработка коммуникативных навыков в  работе

III Подготовка к изучению нового материала Ответьте на вопросы: 1) Сформулируйте определение  производной. 2)  Какие из указанных прямых  параллельны?   у = 0,5х; у = ­ 0,5х; у = ­ 0,5х + 2. Почему?

3) Отгадайте фамилию учёного f(x) 2 x  sin cos  2  x  2 А х2 ­3х+4 Г 1 2  x 1 Ж 5tg x 2x ­ 3 1 3 cos x Л Н Р f / (x) 1 3 sin x 2x 2x ­ 3 2 2x слово Л А Г Р А 5 x2 cos Н  2 3 x Ж

Умеете ли вы дифференцировать? Таблица производных f(x)  f /(x) C 0 xn nxn­1 x 1 x2 Правила дифференцирования   v )v (u u uC)  ) (u(v(x)) vu (Cu sin x cos x tg x ctg x cos x ­sin x 1 2 cos  1 2 sin x x (uv  ) vu uv   vu uv 2v     u v   

IV Изучение нового материала Угловой коэффициент  касательной y = f(x),  A(x0,f(x0)); M((x0+Δx), f(x0+Δx)) AM – секущая  = β    kсек. = tg   f  x

0,  если        АМ  → < TAM   0,  →    f                        ,  x  ( 0xf )  если Δх   0→ y A B y  = f(х) M T x Касательная есть предельное   0→ положение секущей при Δх  xyy  = f(х)AMT

Угловой коэффициент касательной к  графику функции в точке равен  значению производной в этой точке. kкас. = f /(x0) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ  ПРОИЗВОДНОЙ

Касательная    к    графику   дифференцируемой    в точке х0 функции f   — это прямая, проходящая через точку  (x0, f(x0)) и имеющая угловой коэффициент   f '(х0). ОПРЕДЕЛЕНИЕ  КАСАТЕЛЬНОЙ

Применение  f '(х1)>0    f '(х2) = 0    f '(х3)<0 α1 < 90º    α2 = 0          α3 > 90º

Эскиз графика функции y = sin  x f / (0)= 1, f / (0,5 ) = 0, f  ­1 π / ( ) = π y y = x, y = 1,  y = ­x + π у = sin x 1 0  x  2

Уравнение касательной • y = kx + b – k = f / (x0) – y = f / (x0) ? x + b – f(x0) = f / (x0) ? x0 + b – b = f(x0) ­  f / (x0) ? x0   y = f(x0) +  f / (x0) ? (x ­ x0)

Алгоритм  • 1. Значение функции в точке касания  • 2. Общая производная функции  • 3. Значение производной в точке касания • 4. Подставить найденные значения в  общее уравнение касательной.

Подведение итогов • Что называется касательной к графику  функции в точке? • В чём заключается геометрический смысл  производной?  • Сформулируйте алгоритм нахождения  уравнения касательной в точке?

V Закрепление  изученного материала  Решите задачи 1.  В  каких точках графика касательная к нему  а) горизонтальна; б) образует с осью абсцисс острый угол; в) образует с осью абсцисс тупой угол?

2. При каких значениях аргумента производная  функции, заданной графиком  а) равна 0; б) больше 0; в) меньше 0? тупой угол?

3. На рисунке изображён график функции  f(x) и  касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите  значение производной функции f /(x) в точке x0 . 3. № 253 (а, б), № 254 (а, б)

Решение опорных задач 1. Если задана точка касания Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.  2. По ординате точки касания. Составить уравнение касательной в точке Графика                   с ординатой y0  = 1. )( xf  3 x   x 1 3. Заданного направления. Написать уравнения касательной к графику  y = x3 – 2x + 7, параллельной прямой у = х. 4. Условия касания графика и прямой. При каких b прямая  y = 0,5x + b является касательной к  графику функции                  ?  )( xf x

Самостоятельная работа № 1 вариант 1 № 255 (а) 2 № 256 (а) 3 № 257 (а) 4 Прямая у = 7х ­ 5  параллельна  касательной к  графику функции  у = х2 + 6х ­ 8.  Найдите абсциссу  точки касания.  2 вариант № 255 (б) № 256 (б) № 257 (б) Прямая у = 6х + 8  параллельна  касательной к  графику функции  у = х2 ­ 3х + 5.  Найдите абсциссу  точки касания.  3 вариант № 255 (в) № 256 (в) № 257 (в) Прямая у = 7х + 1  параллельна  касательной к  графику функции  у = х2 + 8х + 6 .  Найдите абсциссу  точки касания.

Углом пересечения графика функции  и прямой  l  5. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой. называют  угол, под которым в этой же точке  прямую пересекает касательная к графику  функции.  α β γ ,  ,   – углы пересечения № 259 (а) № 259 (а, б), № 260 (а)

Контролирующая самостоятельная  работа 2 вариант 1 вариант 3 вариант 1. Найдите тангенс  угла  наклона касательной к  графику функции  f(x) = x3 + 27 в точке  х0 = ­3. 2. Напишите уравнение  касательной к графику  функции  f(x) = 5 – 0,5x2   в точке с абсциссой х0 = 3.  Выполните рисунок. 3. Выясните, является ли  прямая у = 0,5х + 0,5  касательной к графику  x функции у =        . 1.В каких точках  касательная к графику  функции   f(x) = 3x2 ­12x +7  параллельна оси х? 2. Составьте уравнение  касательной к графику  функции f(x) = x2 ­ 4 в  точке с абсциссой  х0 =  ­ 2. Выполните  рисунок. 3. Выясните, является ли  прямая у = 12х – 10  касательной к графику  функции у = 4х3. 1. В какой точке графика  функции у =       .  касательная наклонена к  оси абсцисс под углом  60о? 2. Составьте уравнение  касательной к графику  1 функции, 2 x  x x )( xf  параллельно прямой  у = 3х. 3. Выясните, является ли  прямая у = х касательной  к графику функции  у = sin x.

Подведение итогов  урока • Что называется касательной к графику  функции в точке?   • В чём заключается геометрический смысл  производной?  • Сформулируйте алгоритм нахождения  уравнения касательной в точке?  • С какими опорными задачами  познакомились? • Достигли  ли цели урока?

п. 19 (1, 2),  № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г),  № 257 (г), № 259 (г).  Подготовить сообщение о Лейбнице ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Литература  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10—11 кл.  общеобразовательных учреждений / А.Н.Колмогоров,  А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред.  А.Н.Колмогорова. ­ М.: Просвещение, 2004. • 2. Дидактические материалы по алгебре и началам  анализа для 10 класса / Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И.  Шварцбурд. ­ М.: Просвещение, 2003. • 3. Мультимедийный диск  фирмы «1С». 1С: Репетитор.  Математика (ч. 1) + Варианты ЕГЭ. 2006. • 4. Открытый банк заданий по математике/  http://mathege.ru/