Презентация по математике на тему "Основы теории вероятности и математической статистики"

Основы теории вероятности

События Событие называется детерминированным, если в результате опыта оно происходит или не происходит наверняка. Событие называется случайным, если в результате опыта мы не можем заранее предсказать - произойдет событие или нет. При этом предполагается, что опыт можно повторять неограниченное число раз при неизменных условиях. События, исход которых нельзя предсказать, но и невозможно повторять многократно, называются неопределенными.

•  События  A и  B называются несовместными, если появление  одного исключает появление другого. •  Событие  B называется противоположным событию A , если  оно состоит в том, что не произошло событие A • Событие называется невозможным, если оно не может  произойти никогда при данных условиях. •  Событие называется достоверным, если оно происходит  всегда при данных условиях.

Вероятностью Р(А) события  называется отношение числа  благоприятных исходов m к общему числу  несовместных  равновозможных исходов: AP ( ) m n Для любого случайного события A  0£ P(A) £ 1

Теоремы о вероятности суммы событий  Если события несовместны:                                        P(A+B) = P(A) + P(B) Если события совместны:                              P(A+B) = P(A) + P(B) ­  P(AB),  где P(AB) ­ вероятность их совместного появления: Ключевые слова: по крайней мере одна; либо, либо (или,  или); хотя бы одна

Теоремы о вероятности произведения событий Если события независимы:                                P(A B) = P(A)*P(B)  Если события зависимы:                                P(A B) = P(A)* PА(B) = P(В)* Pв(А),  где PА(B)  и Pв(А) условная вероятность  (при условии что А или В произошло) Ключевые слова: одна за другой; разные объекты

1. Подбрасываем кубик. Всего исходов 6. Какова вероятность, что  выпадет четное число?  Благоприятны исходы 2, 4, 6. Всего 3. 3/6, ½ или 50% 2. Какова вероятность, что при первом броске выпадет 3, во  втором 4? Здесь вероятность произведения событий: P(3)=1/6, P(4)=1/6 1  1 * 6 36 1 6 3. Какова вероятность, что выпадет 3 или 5? Здесь вероятность суммы несовместных событий. P=1/3

Комбинаторика Число перестановок Число расстановок Число сочетаний  n n 21!  ( )1  n Am n  ( mn n !  )! Cm n  ! n  )! mnm (!

Комбинаторика Например, число перестановок из 6 предметов 1*2*3*4*5*6=720.  Число расстановок из 6 предметов на 4 места А 4 6 !6  )!46(  !6 !2 6*5*4*3 1  360 1  360 Число сочетаний из 6 предметов по 4  65 2 )!46(!4 !6  !2!4 !6   C 4 6   65 !2   15

В корзине 15 шаров. Из них 5 белых и 10 черных. Какова  вероятность вытащить 3 черных шара? Cn 3 15  15  455 Число благоприятных исходов ­ число сочетаний из 10 по 3 !15  !12!3 !10  !7!3 13  14  32  1098  32 3 Cm 120 Вероятность события 120/455 = 0,2637 = 26%   10 Какова вероятность вытащить 3 белых шара? !5  !2!3  54 2 10   Вероятность события 10/455 = 0,021 = 2% C 3 5

Из колоды в 36 карт вытаскиваем 4. Какова вероятность, что  среди них 2 короля? Общее число равновозможных исходов определяем с помощью  36  58905 Cn 4 36 !36  !32!4 33 комбинаторики.  34 35  432  Считаем число благоприятных исходов: каждой паре королей  нужно добавить пару «не королей»  m !4 !2!2 * !32 !30!2  2976 p 2976 58905  .0 0505  %5

Схема испытаний Бернулли вероятность успеха P(A)=p в каждом испытании одна и та же; результат любого испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний. Такая последовательность испытаний с двумя исходами (успех/ неуспех) называется последовательностью независимых испытаний Бернулли или – схемой испытаний Бернулли.

Схема испытаний Бернулли n – испытаний всего k – количество успехов p - вероятность успеха q=1-p вероятность «неуспеха», так как для одного испытания события «успех/неуспех» образует полный набор. kP n   qpC k k n  kn

Подбрасываем 5 раз кубик. Какова вероятность, что пятерка  выпадет ровно 2 раза? Схема испытаний Бернулли:  p=1/6, q=1­1/6=5/6 К=2   N=5 CP   2 5 1 6    2    5 6 3    !5  !3!2 3 5 5 6   54 2 3 5 5 6  0.16  16%

Основы математической статистики

Случайная величина Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной  величины называют соответствие между  возможными значениями и их вероятностями. Х х2 … хn … р2 … рn … Р х1 р1 Вероятность  P любого случайного события, связанного с  экспериментом, полностью определяется набором  неотрицательных чисел pi, i=1,2,…,n, таких, что  p 1  p 2  1 ... np

Числовые характеристики случайной величины Математическим ожиданием конечной случайной величины  называется число  хM )(  px 11  px 2 2  ... px mm m   i  1 px i i , которое указывает некоторое среднее значение, около  которого группируются все возможные значения Х

Числовые характеристики случайной величины Дисперсией конечной случайной величины называется число XMхD )(   2 ()  )( хM 2

Числовые характеристики случайной величины Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной законом: Х Р ­2 0,2 0 р2 2 0,3 P2=1-(P1+P3), P2=1- (0,2+0,3)=0,5 М(х)= -2*0,2+0*0,5+2*0,3=-0,4+0,6=0,2 М(х)2=0,2*0,2=0,04 М(х2)= (­2)2*0,2+02*0,5+22*0,3=4*0,2+4*0,3=0,8+1,2=2 Д(х)=2­0,04=1,96

Статистическое исследование Основу статистического исследования составляет  множество данных, полученных в результате измерения  одного или нескольких признаков. Генеральной совокупностью называется вся  совокупность исследуемых объектов Например, женщины 10—89 лет, использующие крем для рук  определённой марки не реже одного раза в неделю, и имеющие  доход не ниже 5 тысяч рублей на одного члена семьи.

Генеральная совокупность и выборка Выборкой называют совокупность случайно отобранных из  генеральной совокупности объектов Объемом совокупности называют число объектов этой  совокупности

Генеральная совокупность и выборка Выборка должна быть репрезентативной ­ для этого  объекты из генеральной совокупности должны  отбираться случайно.

• Простой случайный отбор – объекты извлекают по одному  из всей генеральной совокупности • Механический отбор – генеральную совокупность делят  механически на несколько групп и из каждой группы  отбирают один объект ( на основе даты, дня недели, номера  квартиры, буквы алфавита ) • Серийный отбор – объекты из генеральной совокупности  отбирают не по одному, а сериями, которые подвергают  сплошному обследованию.

Гистограмма Для оценки плотности распределения генеральной совокупности  используется специальный график – гистограмма,  на оси OX возможные значения случайной величины, а на оси OY –  соответствующие вероятности или частота появления 10 8 6 4 2 0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95

Полигон Если соединить отрезками середины верхних сторон  прямоугольников гистограммы, получится еще одно графическое  представление для плотности распределения – полигон.

Числовые характеристики случайной величины • Медиана – такое значение М, для которого одинаково  вероятно, окажется ли случайная величина меньше или  больше её (среднее арифметическое двух средних членов ряда) • Мода – наиболее часто встречающееся значение выборки. • Размах – разница между наибольшим и наименьшим  значениями случайной величины

Мода, медиана, размах Распределение случайной величины Х – оценка за контрольную  работу в группе: Х М 2 4 3 8 4 5 5 3 Объем выборки V = 20  Размах выборки R = 5­2=3        Мода М0=3 Медиана М1=(3+4)/2=3,5             Среднее значение Х0=3,35