Данный материал содержит презентацию по теме "Перестановки", которая может быть использована на уроках математике в 7-9 классах в теме Комбинаторные задачи или при подготовке к экзаменам для обобщения и повторения пройденного материала. В презентации имеются необходимый теоретический материал, примеры решений заданий.
Пусть имеются три книги. Обозначим
их буквами a, b и c. Как можно
расставить эти книги на полки?
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
В каждой комбинации присутствуют
все элементы. Отличаются они друг
порядком
от
расположения в них элементов.
только
друга
Комбинации из n элементов, отличающиеся
друг от друга только порядком расположения
перестановками
в них элементов, называются перестановками
из из nn элементов.
элементов.
Число перестановок из n элементов обозначают символом Рn
(читается «Р из n»)
Выведем формулу для числа перестановок из n элементов.
Пусть мы имеем n элементов.
На первое место можно поставить любой из них (n выборов).
На второе место можно поставить один из оставшихся n 1
элементов (n 1 выборов).
На третье место один из оставшихся n 2 элементов (n 2
выборов) и т.д.
В результате получим, что Рn = n (n 1) (n 2) … 3 2 1.
Расположим множители в порядке возрастания
n
n
...321
2
Pn
n
1
Произведение первых n натуральных чисел
обозначается читается «n факториал»
21!2
54321!5
2
!n
120
Pn
!n
В расписании 6 уроков: математика,
литература, история, русский язык,
физика, физкультура. Сколькими
способами
составить
расписание?
можно
Решение:
Составляем различные комбинации из 6
элементов (уроков). Это перестановки из 6
элементов.
Р
654321!66
720
способами
быть
Сколькими
расставлены 7 участниц финального
забега на 7 беговых дорожках?
могут
Решение:
Составляем различные комбинации из 7
элементов (человек). Это перестановки из 7
элементов.
Р
7654321!77
5040
строятся
Одиннадцать футболистов
перед началом матча. Первым становится
капитан, вторым – вратарь, а остальные –
случайным образом. Сколько существует
способов построения?
Решение:
2 человека зафиксированы (капитан и вратарь).
Значит, остаются 11 – 2 = 9 человек, которых
надо расставить в произвольном порядке.
Это перестановки из 9 элементов.
Р
987654321!99
362880
Сколько различных четырехзначных чисел, в
которых цифры не повторяются, можно
составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Решение:
Из 4 цифр можно составить Р4 перестановок.
Р4 = 4! =1 2 3 4 = 24.
Из этого числа надо исключить те перестановки,
которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не
может начинаться с цифры 0.
Число таких перестановок равно Р3 ( цифра 0
зафиксирована, переставляем только три цифры).
Р3 = 3! =1 2 3 = 6.
Значит, 24 6 = 18.
Имеется 9 различных книг, 4 из которых - учебники.
Сколькими способами можно расставить эти книги
на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Решение:
Рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда надо
расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р6
способами.
Р6 = 1 2 3 4 5 6 = 720.
В каждой из полученных комбинаций можно
переставить 4 учебника, т.е. выполнить Р4 перестановок
учебников .
Р4 = 1 2 3 4 = 24.
Значит, искомое число способов расположения книг на
полке равно произведению Р6 Р4 = 720 24 = 17280.
987654321
72
7654321
44!43
45
1980!43
Вычислите:
!9
!7
!45
!43
!9!15
!20
987654321!15
16!15
20
19
18
63
323
3
17
Перестановки.ppt
