Презентация по математике на тему: "Первообразная"

З А Р Б О Р А П Е Н О В Я . подготовила: Кочеткова М.М.

ЗАДАЧА №1  Найти скорость легковой машины, движущейся прямолинейно по закону S(t)=t2- 20t через минуту после начала движения( скорость м/с). Решение: V=S´(t)=(t2-20t)´=2t-20 Т.к. 1 мин=60 сек, получаем: V=S´(60)=2∙60-20=100 м/с Ответ: V=100 м/с

ЗАДАЧА №2 (ОБРАТНАЯ)  Скорость движения точки задана формулой V(t)=at, где а – ускорение равное 1,5 м/с2. Найти пройденный ее путь S(t) после 20 секунд от начала движения. Решение: Т.к. V(t)=at, а V=S´(t) =>S(t)= (at2)/2, т.к. именно S´(t)=(at2/2)´=at=v(t). Получаем: S(20)= (1,5∙202)/2=300 м. Ответ: 300м Примечание: в данной задаче нам пришлось восстанавливать функцию S(t), производная которой равнялась скорости движения точки V(t) . Функцию S(t), такую, что S´(t)=V(t), называют первообразной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ.  О1: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство: F´(x)=f(x) Другими словами: нахождение первообразной – это обратное действие нахождения производной.

ПРИМЕРЫ. 1) F(x)=sinx является первообразной функции f(x)=cosx, т.к. F´(x)=(sinx) 2) F(x)= является первообразной функции f(x)= x3, т.к. F´(x)=( )´= 4x 4 1 4  х4 14  ´=cosx. 4x 4 = x3. 3) Доказать, что функции , , являются первообразными 3x 3 3 x 3 1 3 x 3 4 Решение:  F´(x)=(    )´=              = x2 – да является 3 1 3 функции f(x)=x2. х3 13  1 3 13  х  3 1 3 13  х  3 3x 3 x 3 F´(x)=(        )´=                 = x2 – да является x 3 F´(x)=(         )´=                 = x2 – да является 0 0 1 4 3 3 Сx  3 Вывод: Любая функция          , где С – любое число, является первообразной функции f(x)= x2, т.к. С´=0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  О2: F(x)+С, где С- произвольная постоянная (любое число), называется семейством первообразных. Для функции f(x) найти такую первообразную, график которой проходит Задача. Решение: 2 Сх  2 через т. М(2;5). ( 2  Сх 2  ) 1 2 12  х  2 0 2 Все первообразные функции f(x)=х находятся по формуле F(x)= , т.к. F´(x)=             =                  =x.  Найдем число С, при котором наш график будет проходить через точку М (2;5). В уравнение F(x)=           подставим координаты т. М и найдем число С. х   5=           => С=3 2 Таким образом, F(x)=          .                                                    Ответ: F(x)=  Сх  2 22 2 2 х 2 С 3 3 2

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ. №983-986 (нечет), №987 (весь)

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ. Первообразная Функция 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. G, где G число 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Gx+С

ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Правила интегрирования – это правила нахождения первообразных. Правила: Пусть F(x), G(x) первообразные функций f(x) и g(x) соответственно  и а – постоянная (любое число), тогда: 1. F(x)+G(x) – первообразная для функции f(x)+g(x). 2. F(x) ­ G(x) – первообразная для функции f(x) ­ g(x). 3. а∙F(x) – первообразная для функции а∙f(x).

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ. №988-996 (нечет)

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ О1: Рассмотрим фигуру, сверху ограниченную графиком функции f(x), снизу осью Ох, а Со сторон отрезком [a;b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Площадь S криволинейной трапеции можно вычислить по формуле: О2: Разность F(b)-F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначают:

ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА. Другими словами площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле: S= - формула Ньютона - Лейбница

УСТНАЯ РАБОТА. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:

ЗАДАЧА №1  Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. Решение: Используя формулу (1), получаем: 3х 3 33 3  9 1) F(x)= 2) F(3)= 3) F(1)= 13 3  1 3

ЗАДАЧА №2  Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. Решение: Используя формулу (1), получаем: S    sin 0 xdx  F  )(  F )0( 1) F(x)=­cosx    2) F( )=­cos =­(­1)=1   3) F(0)=­cos0=­1  sin едкв . S .211)1(1)0(   xdx  F  F  0 π π  )(

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ.  №999-1001 (нечет)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ.  При вычислении интегралов удобно ввести следующее обозначение: Отсюда получаем Формулу Ньютона - Лейбница:

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ 1.  Криволинейная трапеция, ограниченная сверху  графиком функции y=f(x), снизу осью Ох и по бокам  отрезком [a;b]. S  xf )( b a dx у у  )(xf а b х

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ 2. Фигура, ограниченная сверху только графиком  функции y=f(x) и снизу осью Ох. у а у  )(xf b х S  dxxf )( b a Точки а и b находим из уравнения f(x)=0

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ 3. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью  Ох, снизу графиком функции y=f(x) и по бокам  отрезком [a;b]. у S b   a dxxf )(   dxxf )( b а а b х у  )(xf

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ 4. Фигура, ограниченная сверху двумя графиками  функций y=f(x)и у=g(x), снизу осью Ох и по бокам  отрезком [a;b]. у S   dxxf )( c a   dxxg )( b c у  )(xf y  )(xg а c b х Точку с находим из уравнения f(x)=g(x)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ 5. Фигура, ограниченная графиком функции y=f(x) и  отрезком [a;b]. у S   xf )( c a dx   xf )( d c dx   xf )( b d dx а c d у  )(xf b х Точки c и d находим из уравнения f(x)=0

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ 6. Фигура, ограниченная сверху графиком функции  у y=f(x), снизу графиком функции у=g(x). S   ( b a xf )(  xg ( )) dx а Точки a и b находим из уравнения f(x)=g(x) у  )(xf y  b )(xg х

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у= х2-4х+2 и у=х-2. Решение: Используем формулу (6), получаем: Ответ S= 4,5 кв.ед.

ПРИМЕР.

ПРИМЕР.

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ. № 1013-1021 (нечет)