Презентация по математике на тему "Пирамида в задачах ЕГЭ"(10-11 класс, математика)

Пирамида в задачах ЕГЭ

Задача 1. В правильном единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние от вершины A до прямой BC. Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника . ABC. Оно равно 3 Ответ: 2 3 2 .

Задача 2. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины S до прямой AB. Решение. Искомое расстояние равно высоте SH треугольника . SAB. Оно равно Ответ: 3 2 3 2 .

Задача 3. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины A до прямой SB. Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника . SAB. Оно равно Ответ: 3 2 3 2 .

Задача 4. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины A до прямой SC. Решение. Треугольник SAC прямоугольный. Искомое расстояние равно катету SA и равно 1. Ответ: 1.

Задача 5. В правильной пирамиде SABCD, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от вершины S до прямой AD. Решение. Искомое расстояние равно высоте SH треугольника 3. SAD. Оно равно Ответ: 3.

Задача 6. В правильной пирамиде SABCD, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до прямой SB. Решение. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника 15 . SAB. Оно равно 4 Ответ: 15 4 .

Задача 7. В правильном тетраэдре ABCD найдите расстояние от вершины D до плоскости ABC. Решение. Обозначим E середину BC. Искомое расстояние равно высоте DH треугольника ADE, для которого DE = 3 , HE = . Следовательно, DH = 2 3 6 6 3 . Ответ: 6 3 .

Задача 8. Основанием треугольной пирамиде SABC является прямоугольный треугольник с катетами, равными 1. Боковые ребра пирамиды равны 1. Найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Решение. Из равенства боковых ребер следует, что основанием перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC, является центр окружности, описанной около треугольника ABC, т.е. середина D стороны AC. Треугольник ACS – прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, искомый перпендикуляр SD равен 2 2 . Ответ: 2 2 .

Задача 9. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Решение. Искомое расстояние равно высоте SO треугольника SAC, в котором SA = SC = 1, AC = 2. Следовательно, SO = 2 Ответ: 2 2 2 . .

Задача 10. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBD. Ответ: 2 2 .

Задача 11. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Решение. Искомое расстояние равно высоте SO равностороннего 3. треугольника SAD. Оно равно Ответ: 3.

Задача 12. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBE. Ответ: 3 2 .

Задача 13. В правильном тетраэдре ABCD найдите расстояние между прямыми AD и BC. Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF, где E, F – середины ребер AD, GF. В треугольнике DAG DA = 1, 3 2 AG = DG = Следовательно, EF = Ответ: 2 2 2 2 . . .

SABCD, все ребра которой равны 1, найдите Задача 14. В правильной пирамиде расстояние между прямыми SA и BD. Ответ: 1.

Задача 15. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и BD. Решение. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SAO, где O – середина BD. В прямоугольном треугольнике SAO 1 . 2 имеем: SA = 1, AO = SO = Следовательно, OH 1 Ответ: . = 2 2 2 .

Задача 16. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и BC. Решение. Плоскость SAD параллельна прямой BC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию между прямой BC и плоскостью SAD. Оно равно высоте EH треугольника SEF, где E, F – середины ребер BC, AD. В треугольнике SEF имеем: 2 EF = 1, SE = SF = Высота 2 SO равна Следовательно, EH = 3 2 . 6 3 . . 6 Ответ: 3 .

Задача 17. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, ребра основания которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и DE. Ответ: 3.

Задача 18. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BC. Решение: Продолжим ребра BC и AF до пересечения в точке G. Общим перпендикуляром к SA и BC будет высота AH треугольника ABG. Она равна 3 Ответ: . 2 3 2 .

Задача 19. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние между прямыми SA и BF. Решение: Искомым расстоянием является высота GH треугольника SAG, где G – точка пересечения BF и AD. В треугольнике SAG имеем: 3. SA = 1, AG = , высота SO равна Отсюда находим GH =0,75. 3 2 Ответ: 0,75.

Задача 20. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми AD и BD. Ответ: 60o.

Задача 21. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми AD и BC. Решение. Через середину E ребра BC и прямую AD проведем плоскость. Она будет перпендикулярна BC, т.к. AE и DE перпендикулярны BC. Следовательно, AD перпендикулярна BC, т.е. искомый угол равен 90о. Ответ: 90о.

Задача 22. В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AB. Найдите угол между прямыми AD и CE. Решение. Через точку E проведем прямую EF, параллельную AD. Искомым углом будет угол CEF. В треугольнике CEF имеем . EF = , CE = CF = Следовательно, Ответ: cos 3 6   1 2 cos    . 3 2 3 6 .

Задача 23. В правильном тетраэдре ABCD точки E, F, G – середины ребер AB, BD, CD. Найдите угол EFG. Решение. Прямые EF и FG параллельны прямым AD и BC. Следовательно, угол между ними равен 90о. Ответ: 90о.

Задача 24. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SD и AC. Ответ: 90о.

Задача 25. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SB. Ответ: 60о.

Задача 26. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и SC. Ответ: 60o.

Задача 27. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SC. Решение. В треугольнике SAC SA = SC = 1, AC = Следовательно, искомый угол равен 90о. Ответ: 90о. 2

Задача 28. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и AC. Решение. В треугольнике SAC SA = SC = 1, AC = Следовательно, искомый угол равен 45о. Ответ: 45о. 2

Задача 29. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и BD. Решение. Прямая AC является ортогональной проекцией прямой SA на плоскость ABC. Она перпендикулярна BD. Следовательно, SA и BD также перпендикулярны. Ответ: 90о.

Задача 30. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите угол между прямыми AD и BE. Решение. Искомый угол равен углу CBE. Он равен 30о. Ответ: 30о.

Задача 31. В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC.  Решение. Пусть E – середина ребра BC. Искомый угол равен углу DAE. В треугольнике DAE 3 имеем: AD = 1, AE = DE = 2 3 3 Используя теорему косинусов, получим   cos . . Ответ: cos   3 3 .

Задача 32. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC. Решение: Искомый угол равен углу SAC. В треугольнике SAC имеем: SA = SC = 1, AC = Следовательно, искомый угол равен 45о. Ответ: 45о. 2.

Задача 33. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью SBD. Решение: Искомый угол равен углу SOA, где O – середина BD. В прямоугольном треугольнике SOA . имеем: SA = 1, AO = Следовательно, искомый угол равен 45о. 2 2 Ответ: 45о. 

Задача 34. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и плоскостью SAD. Решение. Пусть E, F – середины ребер AD и BC. Искомый угол равен углу SEF. В треугольнике 3 . SEF имеем: EF = 1, SE = SF = 2 3 3 Используя теорему косинусов, получим Ответ: cos      3 3 . cos .

Задача 35. В правильной 6-ой пирамиде SA…F, основания – 1, найдите угол между прямой SA и боковые ребра которой равны 2, а ребра плоскостью ABC. Решение. Искомый угол равен углу SAD. Треугольник SAD равносторонний. Следовательно, = 60о. Ответ: 60о.  

Задача 36. В тетраэдре ABCD, ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCD. Решение: Пусть E – середина BC. Искомым линейным углом является угол AED. В треугольнике AED имеем: AD = 1, AE = DE = По теореме косинусов Ответ: cos находим 3 2   .    1 3 . cos 1 3 .

Задача 36. В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями SBC и ABC. Решение: Пусть E, F – середины ребер BC и AD, O – центр основания. Искомым линейным углом является угол SEF. 3 . 2 В прямоугольном треугольнике SEO имеем EO = , SE = Следовательно, Ответ: 1 2 3 3 cos   cos   3 3 .  .

Задача 37. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между плоскостями ABC и SBC. Решение: Пусть O – центр основания, G – середин ребра BC. Искомым линейным углом является угол SGO. 15 2 В прямоугольном треугольнике SGO имеем: OG   = , SG = Следовательно, Ответ: cos 3 2 5 5 .   .  cos 5 5 .

Задача 38. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SBC. Решение: В треугольниках SAB и SBC опустим высоты AH и CH на сторону SB. Искомым линейным углом является угол AHC. В прямоугольном треугольнике AHC имеем: AC = , AH = CH = 15 3 . По теореме косинусов находим 4 5    3  cos . Ответ: -0,6

Задача 39. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной основания пирамиды, которой равна 6 см и высота равна 4 см. сторона Ответ: 60 см2.

Задача 40. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см. Ответ: 8 см2.

Задача 41. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания 4 см и высотой 2 см. Ответ: 48 см2.

Задача 42. Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды, если все её рёбра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз? Ответ: а) Увеличатся в 4 раза; б) уменьшатся в 25 раз.

Задача 43. Развёртка правильной треугольной пирамиды представляет собой равносторонний площадь которого равна 80 см2. Найдите площадь грани пирамиды. треугольник, поверхности Ответ: 20 см2.

Задача 44. Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1? Ответ: 3.