Презентация по математике на тему "Подготовка к ЕГЭ. Производная"

Из опыта работы по  подготовке к ЕГЭ  (математика)

Мониторинг результатов обучения  Таблица 1. Результаты работ Зановской А. Дата 1 2 3 4… 13 14… Первичный  балл Тестовый балл Оценка

Мониторинг результатов обучения  Таблица 2. Динамика подготовленности Зановской А. дата Тесто вый  балл 100 98 96 94 92 90 87 85 Перви чный  балл 32 31 30 29 28 27 26 25 24… 83…

Мониторинг результатов обучения  Таблица для учителя.  Количество ошибок в заданиях Дата 1… 13… Средний балл  Максимальный  балл  Минимальный  балл  «5»  «4»  «3»  «2»

Мониторинг результатов обучения  Таблица пробелов ФИО  ученика 1 2 3 Диагност ическая  работа  №1 Трениро вочная  работа  №1 Диагнос тическая  работа   №2 Зановская А. Колиенко К. Черных Д. 1 1 1 1 0 1 1 1 0

Типы задач: •Нахождение точек максимума и минимума по  графику производной функции. •Нахождение длины промежутков возрастания или  убывания функции, точек максимума и минимума по  графику функции. •Нахождение значения производной в заданной  точке, если задан график функции и касательная к  нему. •Определение количества целых точек, в которых  производная функции отрицательна, положительна. •Нахождение количества точек, в которых  производная функции  у = f (x) равна 0.

На рисунке изображен график  производной функции у =f (x), заданной  на промежутке (­ 8; 8). Исследуя график,  мы можем ответить на  множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции  не представлено!  y = f /(x) ++ ++ -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x 1 2 3 4 5 6 7 ++ –– Найдем точки, в которых  f /(x)=0 (это нули  функции). y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   –– f/(x) f(x) -5-5 00 33 66 x

По этой схеме мы можем дать ответы на По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы многие вопросы Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите  количество ее точек минимума. y = f /(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   ++ f/(x) --88 f(x) -5-5 ––  ++ 00 –– 33  ++ 66 88 4 точки экстремума,  Ответ: 2 точки минимума  x

Приме Приме рр Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке  [– 6; –1] y = f /(x) y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x --88 f/(x) f(x) ++  –– -5-5 ++ 00 33 –– ++ 88 66 x Ответ: xmax = – 5

Приме Приме рр Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y = f /(x) В точках –5, 0, 3 и 6  функция непрерывна,  поэтому при записи  промежутков возрастания  эти точки включаем.   Ответ: (–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)  -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x ++ f/(x) --88 f(x) -5-5 –– ++ 00 33 –– ++ 88 66 x

Приме Приме рр Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). В ответе  укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.  -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x В точках –5, 0, 3 и 6  функция непрерывна,  поэтому при записи  промежутков возрастания  эти точки включаем. (–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)  Сложим целые числа:  ­7, ­6, ­5, 0, 1, 2, 3, 6, 7 y = f /(x) y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   ++ f/(x) --88 f(x) -5-5 –– ++ 00 33 –– ++ 88 66 x Ответ: 1

Приме Приме рр Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе  укажите длину наибольшего из них.  y = f /(x) y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x   Ответ: 5. ++ f/(x) --88 f(x) -5-5 –– ++ 00 33 –– ++ 88 66 x

Приме Приме рр В какой точке отрезка [– 4; –1] функция у =f (x) принимает  наибольшее значение?  -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   y = f /(x) На отрезке [– 4; –1]  функция у =f (x)  убывает, значит,  наибольшее значение на  данном отрезке функция  будет принимать в точке  1 2 3 4 5 6 7 – 4. x Ответ: – 4. ++ f/(x) --88 f(x) -5-5 –– ++ 00 33 –– ++ 88 66 x

Приме Приме рр В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает  наименьшее значение?  y = f /(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   На отрезке [– 4; –1]  функция у =f (x)  убывает, значит,  наименьшее значение на  данном отрезке функция  будет принимать в конце  отрезка в точке х= – 1. Ответ: – 1. ++ f/(x) --88 f(x) -5-5 –– ++ 00 33 –– ++ 88 66 x

На рисунке изображен график производной функции  f(x), определенной на  интервале (­11; 3). Найдите  количество точек, в которых касательная к  графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x ­5  или совпадает с ней.  y = 2  Решение. Если  касательная  к  графику  функции  f(x)    параллельна  прямой  y  =  2x­5  или  совпадает  с  ней,  то  ее    угловой  коэффициент  равен  2,  а  значит  нам  нужно  найти  количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2.  Для  этого  на  графике  производной  проведем  горизонтальную  черту,  соответствующую  значению  y  =  2,  и  посчитаем    количество  точек  графика  производной, лежащих на этой линии.  В нашем случае таких точек 5.  Ответ: 5.

На рисунке изображен график функции y = f (x),   определенной на интервале (­8; 3). Определите количество целых   точек, в которых производная функции отрицательна.  )(xf убывает. , если Решение.  0)(  xf Целые решения:  х=­7; х=­6; х=­2; х=­1.  Их количество равно 4. Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на  интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых  производная функции положительна.  Решение.   xf )(  Целые решения при :  х=­7; х=­6; х=­5; х=­4; х=2; х=3.  возрастает. 0 , если )(xf Их количество равно 6. Ответ: 6.

На рисунке изображен график функции y = f (x),    определенной на интервале (a;b). Определите количество целых  точек, в которых производная функции положительна.  a) Решите самостоятельно! б)  xf Целые решения при :   )(  х=­2; х=­1; х=5; х=6.  Их количество равно 4. Ответ: 4. Решение. 0 , если )(xf возрастает. Целые решения при :   х=2; х=3; х=4; х=10; х=11.  Их количество равно 5. Ответ: 5.

На рисунке изображен график функции y = f (x),    определенной на интервале (a;b). Определите количество целых  точек, в которых производная функции отрицательна.  a) Решите самостоятельно! б)  xf Целые решения при :   0)(  Решение. , если )(xf х=2; х=7; х=8.  Их количество равно 3. Ответ: 3. убывает. Целые решения при :   х=­1; х=0; х=1; х=2; х=9;  х=10. Их количество равно 6. Ответ: 6.

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (­6; 8). Найдите количество точек, в  которых производная функции y = f (x) равна 0.  Решение.   ) 0, f x 0( если касательная,  проведенная в эту  точку имеет вид у =  Считаем количество  const. точек пересечения  графика функции с  касательной. Ответ: 7.

На  рисунке  изображен  график  функции  y  =  f  (x),  определенной  на  интервале (­8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к  графику функции параллельна прямой у = 8.  Решение.  Прямая  у  =  8  —  горизонтальная,  значит,  если  касательная  к  графику  функции  ей  параллельна,  то  она    тоже  горизонтальна.  Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением  задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и,  двигая  его  «вниз»,  сосчитать  количество  точек  с    горизонтальной  касательной.  Ответ: 5.

На  рисунке  изображен  график  функции  y  =  f  (x),  и    касательная  к  нему  в  точке  с  абсциссой  х0.  Найдите  значение производной функции y = f (x)  в точке х0.   А С  Решение. f   0 x   k tg , f   0 x  tg   BC AC   3 1 3. Ответ: 3.

На рисунке изображен график функции y = f (x), и  касательная к  нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение  производной функции y = f (x)  в точке х0.  a) б) А С  В Решение.  f     0,5. 3 6  f f   0 x   k tg , o tg (180  )   AC BC Ответ: ­ 0,5 . А С   k  0 x 0 x  tg   Ответ: 0,75. tg , AC AB   В  3 4  0,75.

На рисунке изображен график функции y = f (x), и  касательная к  нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение  производной функции y = f (x)  в точке х0.  a) б)  А С В А С  В f   0 x   k tg , o tg (180  )   BC AC Ответ: ­ 0,75 . Решение. f   0 x   k tg ,     0,75. 6 8 o tg (180  )   AC BC     6 2 3. Ответ: ­ 3 .

На  рисунке  изображен  график  функции  y  =  f  (x),  касательная  к  этому  графику,  проведенная  в  точке  4,  проходит  через  начало  координат. Найдите f'(4). Решение.  Если  касательная  проходит  через  начало    координат,  то  можно  изобразить  ее  на  рисунке,  проведя  прямую  через  начало  координат  и  точку  касания.  В  качестве  точек  с  целочисленными  координатами,  лежащих  на  касательной,  можно  взять  начало  координат  и  точку  касания.  решение  очевидно:  ( f x 0 Дальнейшее  1,5. )  tg   6 4 6  4 Ответ: 1,5.

На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к  этому графику, проведенная в точке х0, проходит через начало  координат. Найдите f'(х0). 1 Решите самостоятельно! х0= 2 2 х0= ­ 4   )   tg f x ( 0 Ответ: 2.   4 2 2  )  tg  f x ( 0 Ответ: ­ 0,5. 2 4     0,5  )   tg f x ( 0 Ответ: 0,5.   2 4 0,5 )  tg 3    ( f x 0 4 Ответ: 0,75. 0,75 3 х0= ­ 4  4 х0= 4

Памятка Памятка Чтобы  найти  угловой  коэффициент  касательной  к  графику  функции  в  заданной  точке  или  значение  производной  функции      в  точке,  надо  найти  тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох.  Для этого достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах   клеток    и,  считая  его  гипотенузой  прямоугольного  треугольника,  найти  отношение противолежащего катета к прилежащему. Если  на рисунке нет касательной, но известны точки, через которые она  проходит,  сначала  надо  провести  касательную,  а  потом    рассмотреть  прямоугольный треугольник, в котором найти отношение катетов. Если  угол  наклона  касательной  к  положительному  направлению  оси  Ох  острый,  то  угловой  коэффициент  касательной    и  значение  производной  функции  в точке положительны. Если  угол  наклона  касательной  к  положительному  направлению  оси  Ох  тупой,  то  угловой  коэффициент  касательной    и  значение  производной  функции  в точке  отрицательны.

• Вспомнить связь функции и её производной поможет рисунок   f/(x)            ­                    +                        ­  f(x)                          ­ 2 min 3 max • Точки экстремума( максимума и минимума) следует искать среди критических точек (производная  равна нулю или не существует).       • Если производная меняет свой знак с плюса на минус при переходе через точку  Хо, то  Хо – точка  максимума. • Если производная меняет свой знак с минуса на плюс при переходе через точку  Хо, то  Хо – точка   минимума. • Если функция на отрезке возрастает, то своё наименьшее значение она принимает на левом конце  отрезка, а наибольшее ­ на правом. • Если функция на отрезке убывает, то своё наименьшее значение она принимает на правом конце  отрезка, а наибольшее ­ на левом.

Ответы