Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается к a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.
Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается к a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.
Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Предел функции.
Предел функции. Число
пределом функции y = f (( x x )) при x,
при x,
пределом функции y = f
стремящемся к a :
стремящемся к a :
Число L называется
L называется
если для любого > 0
если для любого
положительное число = ( ),
положительное число
отот, , чточто из условия
( ( xx ) –
из условия | | xx aa |<
) – LL | < .
| < .
найдётся такое
> 0 найдётся такое
зависящее
= ( ), зависящее
|< следует
следует |
| f f
есть предел
Это определение означает,
Это определение означает,
предел функции
что L L есть
функции
что
y y = = f f ( ( x x ), если значение
), если значение
функции неограниченно
функции неограниченно
приближается к LL , когда
, когда
приближается к
значение аргумента xx
значение аргумента
приближается к aa. .
приближается к
Геометрически это значит,
Геометрически это значит,
что для любого > 0 можно
что для любого > 0 можно
найти такое число , что
найти такое число , что
если xx находится в
находится в
если
, aa + ), то
интервале ( aa ,
+ ), то
интервале (
значение функции лежит в
значение функции лежит в
, LL + ).
интервале ( LL ,
+ ).
интервале (
приближается к
Отметим, что в соответствии с этим
Отметим, что в соответствии с этим
определением аргумент функции
определением аргумент функции
лишь приближается
лишь
принимая этого значения! Это следует
принимая этого значения! Это следует
учитывать при вычислении предела
учитывать при вычислении предела
любой функции в точке её разрыва,
любой функции в точке её разрыва,
где функция не существует.
где функция не существует.
к a
a , не
, не
Найти
Найти
Р е ш е н и е . Подставляя x = 3 в
выражение
получим не имеющее смысла
выражение
Поэтому мы решим подругому:
Сокращение
дроби в данном
случае корректно,
так как x 3 он
лишь
приближается к 3.
Теперь мы имеем:
поскольку, если x стремится
к 3, то x + 3 стремится к 6
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы
и докажем, что они равны 1.
Пусть
Отложим этот угол на единичной
окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча
с окружностью, а точка L — с
касательной к единичной
окружности в точке (1;0). Точка
H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из
| LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим
Так как при
Умножаем на sinx:получаем
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а
значит и сам предел равен 1.
или
Зная, что второй замечательный предел верен для
натуральных значений x, докажем второй замечательный
предел для вещественных x, то есть докажем, что
1. Пусть
Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:
где
— это целая часть x
Отсюда следует
поэтому
Если
то
Поэтому, согласно пределу
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
2. Пусть
Сделаем подстановку − x = t, тогда
Из двух этих случаев вытекает, что
для вещественного x
Презентацию подготовил Рыспеков
Презентацию подготовил Рыспеков
Султан гр. П0918б
Султан гр. П0918б
матем пределы.ppt
