Презентация по математике на тему "Пропедевтика решения текстовых задач ОГЭ и ЕГЭ"

Пропедевтика решения текстовых задач при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ

В школьном курсе математики текстовые задачи  занимают важное место. Они учат детей логическому  мышлению,  поиску  главной  мысли  в  содержании  исходного  величин,  необходимых для достижения верных вычислений. сопоставлению  текста,  ситуацию  в  проблемную       Применяя такие навыки для решения конкретной  задачи,  учащиеся  развивают  умение  правильно  трактовать  любой  поставленной  перед  ними  задачей  и  принимать  единственно верное решение.       Безусловно, при решении задач,  используется и  исследовательская  форма  деятельности,  в  ходе  которой  учащиеся  делают  самостоятельные  выводы,  приводящие к открытиям, служащим мотивацией для  дальнейшей работы.

Виды текстовых задач               Для  успешного  овладения  навыками  решения  текстовых задач нужно научиться разделять их на виды,  каждому из которых присущи свои методы решения.           Например,  можно  выделить  простые  (решаемые  в  одно  действие)  и  составные  (решаемые  в  несколько  действий)  классификация  неоднозначна,  так  как  сложную  задачу  можно  решить  одним действием, если составить числовое выражение.           Возможна  классификация  по  числу  данных  и  искомых: определенные задачи (число условий          соответствует    числу    данных)  и  неопределенные  (число условий недостаточно) задачи.  Однако  такая

(имеющие        Задачи  можно  разделить  на  стандартные  и  нестандартные  неопределенный  способ  решения,  зачастую  подразумевающий  только рассуждения).       Можно  классифицировать  задачи  по  смыслу:  на  движение,  на  совместную  работу,  на  смеси  и  сплавы, на проценты, на части и т.д.        Таким  образом,  однозначное  разделение  текстовых задач на определенные виды, конечно,  невозможно.  Но  умение  классифицировать  их  хотя  бы  в  общем  виде  необходимо,  так  как    решению  соответствует характерный набор действий. проблемной  любой  ситуации

Классификация по смыслу: - на движение, - на совместную работу, - на проценты, - на смеси и сплавы, - на части и т.д. Именно в таком порядке задачи разделяются в школьных учебниках. В некоторых из них смысловой вид задачи выносится даже в роли названия параграфа или отдельной изучаемой темы.

Этапы решения текстовой задачи    Решить задачу – это значит через логически верную  последовательность действий и операций с имеющимися в  задаче явно или косвенно числами, величинами,  отношениями выполнить требование задачи.    Зачастую, учащиеся допускают ошибки в решении задачи  не потому, что не владеют вычислительными навыками и  достаточным знанием учебного материала, а из­за  невнимательного прочтения текста задачи. Учащиеся же,  как правило, не учитывают возможность наличия лишних  данных и применяют при попытке решить задачу числовой  перебор, стремясь манипулировать условием, не обдумав  его. В случае, если данных в условии задачи не достает,  она воспринимается как не решаемая или с наличием  «опечатки». Поэтому важно научить при решении задачи  использовать системный алгоритм действий, который  поможет избежать подобных ошибок.

Выделим четыре основных этапа процесса  решения задачи:  1) осмысление текста задачи и анализ её  содержания (неоднократное прочтение текста  задачи с обязательным составлением ее краткого  условия); 2) осуществление поиска решения и составление  плана решения (при использовании определения  вида задачи и точности конечного результата);

3) реализация плана решения (наиболее  рациональный способ решения задачи,  требующий минимальной затраты времени и  построения минимального количества логических  цепочек);  4) анализ найденного решения, поиск  других способов решения (соотнести  полученный результат с вопросом задачи,  установить соответствие проблемы и  полученного на выходе решения продукта;  попытаться прийти к тому же ответу,  используя другие известные методы  решения задач).

Анализируя  содержание  текстовых  задач,  связанных с различными процессами – работа,  движение,  расход  энергии,  наполнение  и  освобождение  бассейнов  и  др.  –  можно  увидеть  три  них  на  скорость  взаимосвязанные  процесса,  время  его  протекания  и  продукт  (результат).  Указанные  величины  составляют  сущность задач. ориентировку  в  величины:

Задачи на движение.       Многочисленные  задачи  на  движение,  которые  приходится  решать  школьнику  на  уроках  математики  и  физики  требуют  хорошей  исходной  подготовки.  Сюда  можно отнести следующее: -связь между длиной пути, временем и скоростью при  равномерном движении; ­понимание  разницы  перемещением; -сложение движений и их характеристики. длиной  между  пути  и  Основные типы задач на движение: 1)  задачи  на  движение  по  прямой  вдогонку), 2) задачи на движение по воде 3) задачи на движение протяженных тел и др. (навстречу  и

Памятка при решении задач на движение Путь = скорость · время При движении по реке: Скорость по течению = собственная скорость транспорта + скорость течения реки Скорость против течения = собственная скорость транспорта - скорость течения реки

5-6 класс Велосипедист проезжает расстояние между селами Солнечное и Счастливое за 2 ч, а пешеход проходит это расстояние за 6 ч. Велосипедист и пешеход одновременно отправились из этих сел навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся? Решение.  Расстояние  между  селами  примем  за  единицу.  За  один  час  велосипедист  проезжает  1/2  расстояния,  а  пешеход  проходит  1/6  расстояния.  Складываем,  расстояние,  которое  преодолеют  велосипедист  и  пешеход  за  один  час.  Делим  единицу  на  результат. Получаем время 1,5 часа.  находим

которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. Пункт А Путь S, км Скорость V, км/ч Время t, часы 75 75 х Х+40 Пункт В Время велосипед иста на 6 ч больше =6

Путь S, км Скорость V, Путь S, км Скорость V, км/ч км/ч Время t, Время t, часы часы 75 75 75 75 х х Х+40 Х+40 Время Время велосипед велосипед иста на 6 ч иста на 6 ч больше больше =6  Обозначив за х скорость, которую нужно найти, мы получаем, что скорость более быстрого автомобилиста составит х+40 (км/ч). Переходим к решению полученного (выделенного) уравнения

=6 дроби необходимо привести к общему знаменателю х(х+40). Дополнительный множитель для первой дроби (х+40), для   второй – х. упрощаем выражение в числителе:   избавляемся от знаменателя: =6х(х+40), сокращаем на 6 (75 на 3, 40 на 2): =х(х+40), приводим к виду ax2+bx+c=0: Х2+40х-500 = 0, Находим корни квадратного уравнения (см. дискриминант, занятие 5): х1= 10 и х2= -50. Очевидно, что второй корень не удовлетворяет смыслу задачи. Ответ: 10

Задание 22. Из города А в город В выехала грузовая машина. Спустя 1,2 часа из пункта А вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 часа после своего выезда он отставал от машины на 24 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она больше скорости грузовой машины на 30 км/ч. Решение. Пусть х – км/ч скорость автобуса, тогда (х-30) – скорость грузовой машины. 8,0 Время движения автобуса:  8,02,1 часа Время движения машины: Путь, пройденный автобусом: 0,8 · х Путь, пройденный машиной: 2 · (х-30) часа  0,2

Составим уравнение по условию задачи: 0,8х + 24 = 2(х-30) 0,8х + 24 = 2х – 60 0,8х – 2х = - 24 – 60 - 1,2х = - 84 12х = 840 х = 840 : 12 = 70 Проверка (по условию задачи). Ответ: скорость автобуса 70 км/ ч

5-6 класс Железнодорожный состав длиной 200 м проходит мимо километрового столба за 10 с, а через туннель при той же скорости – за 3 мин. Какова длина туннеля? Решение. Сначала нужно осознать, что за 10 с состав проходит расстояние,  равное  его  длине.  Кому  это  не  совсем  ясно  (или  совсем  неясно),  тому  полезно нарисовать два рисунка: момент начала прохождения состава мимо  столба  и  момент  конца  прохождения.  Затем  нужно  осознать  (с  рисунками  или  без),  что  за  3 мин  состав  проходит  расстояние,  равное  сумме  длин  состава и туннеля. А поскольку время 3 мин = 180 с больше, чем время 10 с,  в 18 раз, то сумма длин состава и туннеля в 18 раз больше длины состава, а  это значит, что длина туннеля в 17 раз больше длины состава и составляет  3 400 м.

Задание 22. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)? Решение. Поезд проходит через туннель за 3 минуты, при этом за одну минуту поезд проходит мимо выхода из туннеля, следовательно, от входа локомотива в туннель до выхода проходит 2 минуты. Мимо столба поезд длиной 1 км проходит за 1 минуту, поэтому его скорость равна 1 км/мин. Значит, за 2 минуты поезд пройдет 2 км, поэтому длина туннеля равна 2 км.

Задачи на движение по реке. Основным отличием задач на данного типа является тот факт, что при решении необходимо учитывать влияние скорости течения на скорость движения объекта. Обозначим собственную скорость объекта (скорость, которую он развивает благодаря работе двигателя) буквой V, а скорость течения реки v теч. Тогда скорость движения объекта по течению V+ V теч, Скорость движения против течения V- V теч, Так как в первом случае течение помогает движению, а во втором – мешает. Отметим, что если в условии задачи речь идёт про плот, то плот, не имея двигателя, может двигаться только по течению со скоростью течения. Часто в задачах фигурирует «скорость в стоячей воде». Под данным выражением понимают собственную скорость объекта или скорость его движения, чаще всего, на озере, где нет

5-6 класс Лодка  плывет  по  течению  реки.  Гребец  уронил  в  воду  шляпу  и,  не  заметив  этого,  продолжал  плыть  дальше.  Какое  расстояние  будет  между  лодкой  и  шляпой  через  10  минут,  если  собственная  скорость  лодки – 9 км/час?   Решение. По сути это типичная задача на движение двух объектов (гребца и  шляпы)  в  одном  направлении  при  одновременном  старте  из  одной  и  той  же  точки.  Скорость  удаления  здесь,  как  и  во  всех  других  задачах  этого  типа,  равна  разности  скоростей  этих  объектов.  Тонкость  задачи  заключается  в  том, что скорость удаления как раз равна собственной скорости гребца.  Некоторым ребятам это сразу ясно; тем же, кому нужны объяснения, можно  сказать, что если из скорости гребца по течению вычесть скорость течения,  то как раз и получится собственная скорость гребца.  Для нахождения ответа нужно сначала выполнить  преобразование: 9 км/ч = 9 000 м/ч = 150 м/мин.  Таким образом, ответ получим, умножая скорость  удалении (150 м/мин) на время (10 мин),  что даст 1 500 м.

Задание 22. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч ? Решение. Пусть искомое расстояние равно х км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывет от места отправления до места назначения и обратно, равно (х/4+х/8) часа. Из условия задачи следует, что это время равно 3 часа. Составим уравнение: (х/4+х/8) = 3 Решив уравнение, получим х=8. Ответ: 8 км.

Памятка при решении задач на работу -время работы -объем работы -производительность Объем работы = время работы · производительность

Задачи на производительность труда (*) сумме бригада покрасила 60 метров Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.   Решение. В первый день было покрашено х метров забора,во второй х+уметров, в третий х+2у метров,в четвёртый х+3у и так далее. Если вся работа длилась n дней, то в последний день (n-ый день) х+(n-1)у. В первый и последний днив сумме х+х+(n-1)у=2х +(n- 1)у=60. Если переводить модель на математический язык, то необходимо вспомнить про арифметическую прогрессию (каждый последующий день длина увеличивается на у метров). По формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии =. В нашей ситуации в первый день покрашено +у, … х+(n-1)у. А суммируя всё покрашенное, получаем 240 м. ==240. В числителе дроби стоит выражение (*), равное 60. 30n=240, получаем, что n=8.

деталей первый рабочий тратит на 3 часа меньше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше. Решение. Пусть х – производительность (дет./час) второго рабочего, тогда (х+3) – производительность первого рабочего Значит рабочего  время первого 180  х 180 х 3  время второго рабочего

Составим уравнение по условию задачи: 180 х  27  180  х 3  3 х (х + 3) ≠ 0 х ≠ 0 ; х ≠ - 3 180х + 3х² + 9х = 180х + 540 3х² + 9х – 540 = 0 | : 3 х² + 3х – 180 = 0 D = 9 - 4·(- 180) =9 + 720 = 729 = 27²  Dв 2a  3 2 Проверка. Ответ: производительность второго рабочего 12 деталей в час х1 = 24: 2 = 12 х2 = -30 : 2 < 0 (не подходит)

Памятка для решения задач на проценты Процентом числа называется его сотая часть. Например: 1% от числа 500 – это число 5. -нахождение процента от числа: Найти 3 % от числа 500;15 % от числа 60. -нахождение числа по его процентам: Найти число, 12% которого равны 30. -нахождение % отношения чисел: Сколько % составляет 120 от 600?

5-6 класс Вкладчик положил в банк 45000  руб. под 9% годовых. Какая сумма  будет  у него на счете через год?     Решение. Первый способ: 45000:100 =450 руб. – 1% вклада. 459∙9=4050 руб.  –  начислено  процентных  денег  на  конец  года.  45000+4050=49050 руб. Второй способ: 45000:100=450  руб.  –  1%  вклада.  100+9=109  %  ­  исходной  суммы  составят  деньги  на  счете  на  конец года. 450 ∙ 109=40050 руб.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Решение. Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции компании подорожали на х%, и их стоимость стала составлять (1+0,01х) руб. Во вторник акции подешевели на х%, и их стоимость стала составлять  (1-0,01х)(1+0,01х). В результате они стали стоить на  4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,  (1-0,01х)(1+0,01х)=0,96 руб. 1- 0,0001х2 =0,96, 0,0001х2 =0,04, умножим обе части на 10 000: х2 =400. Откуда х=20 (%). Ответ: 20

Памятка для решения задач на концентрацию, смеси, сплавы. концентрация(доля чистого вещества в смеси) -количество чистого вещества в смеси -масса смеси. масса смеси · концентрация = количество чистого вещества.

5-6 класс Смешивая 5% и 40% растворы кислот, необходимо  получить 30% раствор. Сколько грамм каждой кислоты  необходимо смешать, чтобы получить 140 г 30%­ ого  раствора?  Решение. Сколько всего частей? 2 + 5 = 7(ч) Сколько грамм приходится на одну часть? 140 : 7 = 20(г) Сколько грамм 5%­го раствора взять? 2 ∙ 20 = 40(г) Сколько грамм 40%­го раствора взять? 5 ∙ 20 = 100(г) Ответ: для получения 140г 30%­ного  раствора нужно взять 5%­ного  раствора 40г, а 40%­ного ­ 100 г.

Смешали некоторое количество 20-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 26- процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение. Смешали равные количества веществ, поэтому концентрация нового раствора будет 23%, то есть среднее арифметическое для чисел 20 и 26. Ответ: 23

Задание 22. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получился раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? 20%=1/5 х х + у получи ли у 30 %=3/10 50%=1/2 Составим уравнение: 1/5 ·х + 1/2·у = 3/10·(х + у)

Решаем уравнение: 1/5·х + 1/2·у = 3/10·(х + у) 1/5·х + 1/2·у = 3/10·х + 3/10·у 1/5·х - 3/10·х = 3/10·у - 1/2·у х (1/5 - 3/10) = у (3/10 - 1/2 ) Надо найти отношение первого и второго растворов, т.е. как х : у, поэтому уравнение делим на у: Получаем: х/у ·(-1/10) = -1/5 х/у = (-1/5) : (-1/10) = -1/5 · (-10/1) = + 2 Значит х : у = 2:1 Ответ: 2:1

Заключение Для того, чтобы учащиеся хорошо и уверенно решали текстовые задачи по окончанию 9 класса, необходимо тщательно подходить к развитию и совершенствованию таких навыков в самом начале математического образования. Каждая сложная задача основана на простых, преемственных методах решения.