Презентация по математике "О решении задачи № 17 ЕГЭ"

ГМО    05.11.14. Бауэр Н.А.,  лицей № 23

Часть 1 О решении задач типа № 19 ЕГЭ

№ 19.  31 декабря 2013 г. Сергей взял в банке 9 930 000 р.  в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита  следующая: 31 декабря каждого следующего года  банк начисляет проценты на оставшуюся сумму  долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Сергей  переводит в банк определённую сумму ежегодного  равными ежегодными платежами?   платежа. Какой должна быть сумма ежегодного  платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя

Решение: х – ежегодный платёж,  а = 9930000 ­ кредит после первого платежа: после второго платежа: 1,1а ­ х 1,1  (1,1а – х) – х = 1,121  а – 2,1х  после третьего платежа: 1,1  (1,121  а – 2,1х) – х = 1,331а – 3,31х = 0

1,331а – 3,31х = 0   9930000 31,3 1331   993000 331  331,1 х  1331  3000  3993000 Ответ: 3993000

Задача для самостоятельного решения 31 декабря 2014 г. Степан взял в банке 4004000 р.  в кредит под 20% годовых. Схема выплаты  кредита следующая: 31 декабря каждого  следующего года банк начисляет проценты на  оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на  20%), затем Степан переводит в банк платеж. Весь  долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На  сколько рублей меньше он бы отдал банку, если  бы смог выплатить долг за 2 равных платежа? Ответ: 460800

Задача для самостоятельного решения: 31 декабря 2014 г Сергей взял в банке  некоторую сумму в кредит под 12% годовых.  Схема выплаты кредита следующая: 31  декабря каждого следующего года банк  начисляет проценты на оставшуюся сумму  долга (т.е. увеличивает долг на 12%), затем   Сергей переводит в банк 3512320 р. Какую  сумму Сергей взял в банке, если он выплатил  долг тремя равными платежами (т.е. за три  года)?  Ответ: 8436000

Похожая задача, но в чём отличие? 31 декабря 2014 г. Борис взял в банке 1 млн р. в  кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31  декабря каждого следующего года банк начисляет  проценты на оставшуюся сумму долга (т.е.  увеличивает долг на определённое количество %),  затем Борис переводит очередной транш. Борис  выплатил кредит в два транша, переведя в первый  раз 560 тыс. р, во второй – 644,1 тыс. р. Под какой  процент банк выдал кредит Борису?

Решение: а – кредит в тыс. р., х – увеличение долга после первого транша: ах 560 после второго транша:  )560 х  ах (  1,644

х  ах (  560 )   01,644 1000 х 2  560 х   01,644 280 2  1000  1,644  100 28 2  100  6441   D 4  ( 100 784  6441 )  100 7225  850 2 х 280  850 1000  13,1 Ответ: 13

Задача для самостоятельного решения: 31 декабря 2014 г. Арсений взял в банке 1 млн  рублей в кредит. Схема выплаты кредита  следующая: 31 декабря каждого следующего  года банк начисляет проценты на оставшуюся  сумму долга (т.е. увеличивает долг на  определённое количество %), затем Арсений  переводит очередной транш. Арсений выплатил  кредит в два транша, переведя в первый раз 550  тыс. р, во второй – 638,4 тыс. р. Под какой  процент банк выдал кредит Арсению? Ответ: 12

11 % 1 9 Ларин, в 81, № 19 За время хранения вклада в банке проценты по нему  начислялись ежемесячно сначала в размере 5%,  затем 12%, потом           и, наконец, 12,5% в месяц.  Известно, что под действием каждой новой  процентной ставки вклад находился целое число  месяцев, а по истечении срока хранения  первоначальная сумма вклада увеличилась на             % Определите срок хранения вклада.  104 1 6

Решение: )1 05,1%105   1 )2 12,1%112   1 1 20 3 25  21 20  37  2 52  28 25 2  27 2 5 )3 111 1 9 %  1000 900  10 9  52 2 3 )4 %5,112  1125 1000  45 40 9 8 2 3 3 2 )5 204 1 6 %  1225 600  49 24 2 7  3 32

Пусть х, у, n, p – число месяцев в течение  которых длилась % ставка, а – первоначальный  вклад, тогда: х     27     2 5       52   2 3     а   37  2 52 п       3 2 2 у р 2 3 2 7  3 32 a  ух 7  5   х 2  пу  3  х 2 п  2 р  2  2 х  2  пу 3 р   2 2 357 1 0   3

имеем систему:  2 х у          х  2 пу  0 х  2 п  р 2 1  2 х  2  пу 3 р  3 из первого уравнения   х = у = 1 не может быть, что х =2, у = 0 или наоборот,  т.к. из третьего р не будет целым.

и так: х  1 у п  3 р  2       тогда: 1+ 1 + 2 + 3 = 7 Ответ: 7

Ларин, в 82, № 19. 5 6 В начале года      некоторой суммы денег  вложили в банк А, а то, что осталось – в банк  Б. Если вклад находится в банке с начала года,  то к концу года он возрастает на определённый  процент, величина которого зависит от банка.  Известно, что к концу первого года сумма  вкладов стала равна 670 у.е., к концу  следующего года – 749 у.е. Если первоначально  5 6      суммы было бы вложено в банк Б, а  оставшуюся сумму вложили бы в банк А, то по  истечении одного года сумма выросла бы до  710 у.е. Определите сумму вкладов по  истечение второго года в этом случае.

Решение: Пусть всего денег первоначально 6х  (чтобы избежать дробей), у –  коэффициент увеличения вклада в  банке А, z – коэффициент увеличения  вклада в банке Б.

= 670 Б 1­ый год 5х  у х  z 2­ой год 5x  y2 х  z2 1­ый год х  у 5х  z x  y2 5х  z2 хz = 749 = 710 ?  2­ой год 5 ху 670 А       2 5 xy  2 xz  749 xy  5 xz  710

6:)3)1  ху  6 хz  1380 xy  xz 230       xy  xz 230 5 xy  xz 670 2 5 xy  2 xz  749 xy  110 xz  120 550 y  120 z  749      

у z xz  11 12  120 550 y  120 z  749               у  ,11 а z  12 a x  10 a 550  11 a  120  12 a 749 а  1,0       х  1 у  1,1  2 xy  5 xz 2  841 z  2,1 Ответ: 841