Цель исследования: установить картину возникновения показательной функции и показать связь функции в жизни человека с другими науками.Задачи:- подобрать и проанализировать соответствующую литературу;- найти определение и свойства показательной функции в школьной программе;- рассмотреть применение функции в различных науках;- показать применение функции в жизни человека.Объект исследования: показательная функция.Предмет исследования: практическое применение показательной функции.
Показательная функция.Функция вида у=ах ,где а-заданное число, а>0, а≠1, х-переменная, называется показательной.
Показательная функция обладает следующими свойствами
Область определения: множество R всех действительных чисел;
Область значений: множество всех положительных чисел;
Показательная функция у=ах является возрастающей, если а>1,и убывающей, если 0<а<1;
Не является ни четной, ни нечетной;
Не ограничена сверху, ограничена снизу;
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
Непрерывна;
Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее, это явление описывается формулой T=(T1-T0)e-kt+T1
Применение показательной функции в жизни, науке и технике.
Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 1015 или приблизительно 2000 растений на 1 м2 суши.
При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста.
Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.
Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Это явление можно объяснить формулой: s=Ae-ktsin(ωt+ω).
Рост народонаселения. Изменение
числа людей в стране на небольшом
отрезке времени описывается
формулой , где N0 - число
людей в момент времени t=0,
N -число людей в момент
времени t, a-константа.
По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов все эти процессы подчиняются одному закону: N = N0ekt
Закон органического размножения: при
благоприятных условиях (отсутствие
врагов, большое количество пищи)
живые организмы размножались бы по
закону показательной функции.
Например: одна комнатная муха может за
лето произвести 8 1014 особей
потомства. Их вес составил бы несколько
миллионов тонн (а вес потомство пары
мух превысил бы вес нашей планеты), они бы
заняли огромное пространство, а если
выстроить их в цепочку, то её длинна будет
больше, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но так как, кроме мух существует множество
других животных и растений, многие из
которых являются естественными врагами мух
их количество не достигает вышеуказанных
значений.
ФОРМУЛА СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТНОГО РОСТА
p - % годовых
S - внесенная сумма
Sn - сумма, которая будет на счёте через n лет
Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается, через некоторое время остается половина от первоначального вещества. Этот промежуток времени t0 называется периодом полураспада. Общая формула для этого процесса: m = m0(1/2)-t/t0 , где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Это явление используют для определения возраста археологических находок. Радий, например, распадается по закону: M = M0e-kt . Используя данную формулу ученые рассчитали возраст Земли (радий распадается примерно за время, равное возрасту Земли).
Исследуя расположение планет солнечной системы вокруг Солнца, немецкий астроном И.Э. Боде в 1772 составил следующую таблицу:
№ | Планета | Расстояние (L) до солнца (в астрономических единицах) |
1 | Меркурий | 0,4 |
2 | Венера | 0,7 |
3 | Земля | 1 |
4 | Марс | 1,5 |
5 | ||
6 | Юпитер | 5,2 |
7 | Сатурн | 9,5 |
К тому времени было открыто только шесть планет,
поэтому все вычисления останавливаются на Сатурне.
Эти вычисления произвел И.Э. по следующей формуле:
Данная формула особенно точна для Венеры, Земли и Юпитера.
Как известно, между Марсом и Юпитером планеты не существует, но если
следовать таблице Боде, на данной орбите должно находиться какое-либо
космическое тело. И действительно, после некоторых исследований учёными
был открыт пояс астероидов.
Это было воистину торжеством науки и триумфом математики!
Рассмотренные примеры убедительно показывают, что знание математики нужно не только человеку непосредственно связанному с математикой, но и людям многих других специальностей.Показательная функция имеет непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии, экономике и многочисленным смежным наукам.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.