Презентация по математике "Показательная функция и ее применение"(11 класс)

Показательная функция и ее применение

Цель исследования: установить картину возникновения показательной функции и показать связь функции в жизни человека с другими науками.Задачи:- подобрать и проанализировать соответствующую литературу;- найти определение и свойства показательной функции в школьной программе;- рассмотреть применение функции в различных науках;- показать применение функции в жизни человека.Объект исследования: показательная функция.Предмет исследования: практическое применение показательной функции.

Показательная функция.Функция вида у=ах ,где а-заданное число, а>0, а≠1, х-переменная, называется показательной.

Область определения: множество R всех действительных чисел;
Область значений: множество всех положительных чисел;
Показательная функция у=ах является возрастающей, если а>1,и убывающей, если 0<а<1;
Не является ни четной, ни нечетной;
Не ограничена сверху, ограничена снизу;
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
Непрерывна;

Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее, это явление описывается формулой T=(T1-T0)e-kt+T1

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста.

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.

Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Это явление можно объяснить формулой: s=Ae-ktsin(ωt+ω).

Рост народонаселения. Изменение
числа людей в стране на небольшом
отрезке времени описывается
формулой   , где  N0  - число
людей  в момент времени t=0,
N -число людей в момент
времени t,  a-константа.

По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов все эти процессы подчиняются одному закону: N = N0ekt 

Закон органического размножения: при
благоприятных условиях (отсутствие
врагов, большое количество пищи)
живые организмы размножались бы по
закону показательной функции. 
Например: одна комнатная муха может за
лето произвести 8   1014 особей
потомства. Их вес составил бы несколько
миллионов тонн (а вес потомство пары
мух превысил бы вес нашей планеты), они бы
заняли огромное пространство, а если
выстроить их в цепочку, то её длинна будет
больше, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но так как, кроме мух существует множество
других животных и растений, многие из
которых являются естественными врагами мух
их количество не достигает вышеуказанных
значений.

Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается, через некоторое время остается половина от первоначального вещества. Этот промежуток времени t0 называется периодом полураспада. Общая формула для этого процесса:  m = m0(1/2)-t/t0 , где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Это явление используют для определения возраста археологических находок. Радий, например, распадается по закону: M = M0e-kt . Используя данную формулу ученые рассчитали возраст Земли (радий распадается примерно за время, равное возрасту Земли).

Исследуя расположение планет солнечной системы вокруг Солнца, немецкий астроном И.Э. Боде в 1772 составил следующую таблицу:

К тому времени было открыто только шесть планет,
поэтому все вычисления останавливаются на Сатурне.

Эти вычисления произвел И.Э. по следующей формуле:

Данная формула особенно точна для Венеры, Земли и Юпитера.

Как известно, между Марсом и Юпитером планеты не существует, но если
следовать таблице Боде, на данной орбите должно находиться какое-либо
космическое тело. И действительно, после некоторых исследований учёными
был открыт пояс астероидов.
Это было воистину торжеством науки и триумфом математики!

Рассмотренные примеры убедительно показывают, что знание математики нужно не только человеку непосредственно связанному с математикой, но и людям многих других специальностей.Показательная функция имеет непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии, экономике и многочисленным смежным наукам.