Презентация по математике "ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ" (11 класс математика)

Нахождение длины промежутков возрастания или  убывания функции, точек максимума и минимума по  графику функции.  Нахождение значения производной в заданной точке,  если задан график функции и касательная к нему  Определение количества целых  точек, в которых  производная функции отрицательна, положительна  Нахождение  количества точек, в которых  производная функции y = f (x) равна 0 Нахождение  количества точек, в которых касательная  к графику функции параллельна прямой у =kx+b

На рисунке изображен график  производной функции у =f (x), заданной  на промежутке (­ 8; 8). Исследуем свойства графика и  мы можем  ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика  самой функции не представлено!  y 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 y = f /(x) Найдем точки, в которых  f /(x)=0 Определим знаки  производной. 1 2 3 4 5 6 7   x

По этой схеме мы можем дать ответы на многие По этой схеме мы можем дать ответы на многие вопросы тестов. вопросы тестов. Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума. 1 2 3 4 5 6 7 x   4 точки экстремума, Ответ: 2 точки минимума y = f /(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5

Приме Приме рр Найдите точку экстремума функции у =f (x) на отрезке [– 6; –1] y 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 y = f /(x) 1 2 3 4 5 6 7 x   Ответ: xmax = – 5

Приме Приме рр Найдите промежутки возрастания функции у =f (x). + + -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x 1 2 3 4 5 6 7 + ( y = f /(x) y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   Если производная на промежутке больше нуля, то функция на этом промежутке возрастает. Ответ: (–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

Приме Приме рр Найдите промежутки убывания функции у =f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них. y = f /(x) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x 1 2 3 4 5 6 7 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   Ответ: 5.

Приме Приме рр В какой точке отрезка [– 4; –1] функции у =f (x) принимает наибольшее значение? -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x 1 2 3 4 5 6 7 y = f /(x) y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5   На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4. Ответ: – 4.

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (­6; 8). Найдите количество точек, в  которых производная функции y = f (x) равна 0.  Решение.   ) 0, f x 0( если касательная,  проведенная в эту точку  имеет вид у = const. Считаем количество точек  пересечения графика  функции с касательной. Ответ: 7. Теоретические сведения. Производная  функции  в  точке  х0  равна  0  тогда  и  только  тогда,  когда  касательная  к  графику  функции,  проведенная  в  точке  с  абсциссой  х0,  горизонтальна.  Отсюда  следует  простой  способ  решения  задачи  —  приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально  и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

На  рисунке  изображен  график  функции  y  =  f  (x),  и    касательная  к  нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение  производной функции y = f (x)  в точке х0.   f  0 x 0 x   k  tg  tg , BC AC  Решение.   3 1 3.    f Ответ: 3.  А С Теоретические сведения. Значение  производной  функции  f(x)  в  точке  х0  равно  tga  —  угловому  коэффициенту  касательной,    проведенной  к  графику  этой  функции  в  данной  точке.  Чтобы  найти  угловой  коэффициент,  выберем  две  точки  А  и  В,  лежащие  на  касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь определим модуль  углового  коэффициента.  Для  этого  построим  ∆ABC.  Важно  помнить,  что  тангенс  острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета  к прилежащему. Знак производной (углового коэффициента) можно  определить по рисунку,  например, так: если касательная «смотрит вверх» то производная  положительна, если  касательная  «смотрит  вниз»  ­  отрицательна  (если    касательная  горизонтальна,  то  производная равна нулю).

На  рисунке  изображен  график  функции  y  =  f  (x),  и    касательная  к  нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение  производной функции y = f (x)  в точке х0.  А С  В Решение. f   0 x   k tg , o tg (180  )   AC BC Ответ: ­ 0,5 .     0,5. 3 6

На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на  интервале (—8; 5). Определите количество целых точек, в которых  производная функции положительна.  0 , если )(xf возрастает. Решение.   xf )(  Целые решения при :  х=­7; х=­6; х=­5; х=­4; х=2; х=3.  Их количество равно 6. Ответ: 6.

На  рисунке  изображен  график  функции  y  =  f  (x),  определенной  на  интервале  (­8;  3).  Найдите  количество  точек,  в  которых  касательная  к  графику функции параллельна прямой у = 8.  Решение.  Прямая  у  =  8  —  горизонтальная,  значит,  если  касательная  к  графику функции ей параллельна, то она  тоже горизонтальна.  Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции  f(x), определенной  на интервале (­2; 16). Найдите  количество точек, в которых касательная  к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x ­5  или совпадает с  ней.  y = 2  Решение. Если  касательная  к  графику  функции  f(x)    параллельна  прямой  y  =  2x­5  или  совпадает с ней, то ее  угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти   количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2.  Для  горизонтальную  черту,  соответствующую  значению  y  =  2,  и  посчитаем    количество  точек  графика  производной, лежащих на этой линии.  В нашем случае таких точек 5.  графике  производной  проведем  этого  на  Ответ: 5 .