Презентация по математике "Замечательные кривые"

Замечательные Замечательные кривые кривые геометрии геометрии Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.» Г. Галилей

Лемниската Бернулли Цепная линия Фигуры Лиссажу* Дельтоида Спирали Эпициклоиды Эллипс * Парабола Квадратриса Циклоида Розы *Кардиоида Эвольвента Улитка Паскаля *Каппа Конхоида Никомеда Гипербола *Астроида Циссоида Диоклеса Лист Декарта Гипоциклоиды

Эллипс

Синусоид Синусоид аа

Синусоида Синусоида КтоКто Леонард Эйлер Леонард Эйлер в XVIII веке в XVIII веке Синусоида-график функции синуса Синусоида-график функции синуса Когда Когда При каких При каких обстоятель обстоятель ствах ствах Занимател Занимател ьные ьные факты факты На данный момент известно, что все планеты На данный момент известно, что все планеты Солнечной Системы (СС) перемещаются в Солнечной Системы (СС) перемещаются в кривым, в одном пространстве по кривым , в одном пространстве по кривые направлении с Солнцем. Эти кривые направлении с Солнцем. Эти представляют из себя синусоиды представляют из себя синусоидами планет). Si p (синусоидами планет). Si p ( синусоиды, названые , названые

Синусоиду мы видим Синусоиду мы видим

Кардиоида Кардиоида

КтоКто Кардиоида Кардиоида Альбрехт Великий художник и математик Альбрехт Великий художник и математик Дюрер. С. Дюрер. С. 1525 году 1525 году Получила своё название из за схожести своих Получила своё название из за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца. очертаний со стилизованным изображением сердца. Кардиоида является частным случаем улитки Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, которую открыл Этьен Паскаль Паскаля, которую открыл Этьен Паскаль Когда Когда При При каких каких обстоя обстоя тельст тельст вахвах Заним Заним атель атель ные ные факты факты Спустя 125 лет появились первые зубчатые колеса с Спустя 125 лет появились первые зубчатые колеса с эпициклоидальным профилем зуба, предложенные эпициклоидальным профилем зуба, предложенные и изготовленные французским математиком и и изготовленные французским математиком и инженером Жюлем Дезаргом (1593–1661), а в 1694 инженером Жюлем Дезаргом (1593–1661), а в 1694 году выполнен первый математический анализ году выполнен первый математический анализ эпициклоидального зацепления. эпициклоидального зацепления.

Кардиоиду мы Кардиоиду мы видим видим

Циклоида Циклоида

Циклоида Циклоида КтоКто Николай Кузанский; Галилей Николай Кузанский; Галилей Когда Когда 15 век 17 век 15 век 17 век При При каких каких обстоят обстоят ельства ельства хх Кривая, которую описывает какая-нибудь точка окружности, катящейся по Кривая, которую описывает какая-нибудь точка окружности, катящейся по прямой линии без скольжения, привлекла к себе в 1598 г. внимание Галилея,. прямой линии без скольжения, привлекла к себе в 1598 г. внимание Галилея,. "Без скольжения" означает, что при повороте круга на любую дугу он "Без скольжения" означает, что при повороте круга на любую дугу он перемещался по прямой на отрезок, длина которого равна длине этой дуги. перемещался по прямой на отрезок, длина которого равна длине этой дуги. Спорный вопрос о знакомстве ученых с этой кривой еще до Галилея был Спорный вопрос о знакомстве ученых с этой кривой еще до Галилея был предметом многих интересных рассуждений. Вилейтнер отмечал, что история предметом многих интересных рассуждений. Вилейтнер отмечал, что история открытия циклоиды не ясна и что некоторые находят эту линию еще у де открытия циклоиды не ясна и что некоторые находят эту линию еще у де Бувелля в "Шести книгах введения в геометрию". Все эти работы относятся к Бувелля в "Шести книгах введения в геометрию". Все эти работы относятся к предыстории учения о циклоиде, ее собственная история начинается в 1628 г., предыстории учения о циклоиде, ее собственная история начинается в 1628 г., когда Мерсенн, знающий от учеников Галилея об этой кривой, просил Роберваля когда Мерсенн, знающий от учеников Галилея об этой кривой, просил Роберваля ее исследовать. Роберваль в 1634 г. нашел, что площадь, ограниченная ее исследовать. Роберваль в 1634 г. нашел, что площадь, ограниченная циклоидой и ее основанием, в три раза больше площади катящегося круга циклоидой и ее основанием, в три раза больше площади катящегося круга Занимат Занимат ельные ельные факты факты . За границы Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2πrr. За границы Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2π , где kk — периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида tt = 2π — периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида произвольное целое число. произвольное целое число. Длина арки циклоиды равна 8rr. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658). . Это свойство открыл Кристофер Рен (1658). Длина арки циклоиды равна 8 Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем. порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем. = 2πkk, где

Циклоиду мы видим Циклоиду мы видим

Гипоциклоида Гипоциклоида Кривая Штейнера Кривая Штейнера Астроида Астроида

Гипоциклоида – дельтоида, плоская кривая, описываемая Гипоциклоида – дельтоида, плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.. втрое больше радиуса первой Л.Эйлер Э.Штейнер Л.Эйлер Э.Штейнер 18 век 19 век 18 век 19 век Название кривая получила за сходство с Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. греческой буквой Δ. КтоКто Когда Когда При При каких каких обстоят обстоят ельства ельства хх Занима Занима тельны тельны е факты е факты

Гипоциклоиду мы Гипоциклоиду мы видим видим

Лабораторная работа Возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см.  Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см, 3 см и 2 см.

Лабораторная работа Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги, вложите в этот вырез первый из трех кружков, чтобы он касался края, и отметьте на окружности маленького круга точку .

Лабораторная работа Проследите за тем, какую линию опишет отмеченная точка, когда кружок катится по окружности выреза без скольжения.  Нарисуйте эту линию.

Лабораторная работа Проделайте то же самое со вторым и третьим кругами

ТЕОРИЯ: Получившиеся линии – ГИПОЦИКЛОИДЫ . Все кривые, которые вычерчивает точка на окружности, катящейся внутри другой окружности, принадлежит семейству гипоциклоид (от греческого «гипо» - «под», «внизу» и «киклоидес» - «кругообразный»).

Эвольвенту окружности Эвольвенту окружности мы видим мы видим В вентиляторе

Спираль Спираль Архимеда Архимеда

Спираль Архимеда Спираль Архимеда ктокто когда когда При каких При каких обстоятель обстоятель ствах ствах Архимед Архимед в 300 году до нашей эры в 300 году до нашей эры Pаковина закручена по спирали. Если ее . Если ее Pаковина закручена по спирали развернуть, то получается длина, немного уступающая развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали.  изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали.  Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. его именем. Но мысль о спирале возникла в связи с задачей о Но мысль о спирале возникла в связи с задачей о трисекции угла трисекции угла 1. Архимед умел проводить касательную к своей 1. Архимед умел проводить касательную к своей спирали. При исследовании этой спирали он находит спирали. При исследовании этой спирали он находит сумму квадратов натуральных чисел. сумму квадратов натуральных чисел. 2.Изображение геометрической фигуры под названием 2.Изображение геометрической фигуры под названием Архимедова спираль найдено на древнегреческом Архимедова спираль найдено на древнегреческом объекте, который появился более чем за тысячу лет до объекте, который появился более чем за тысячу лет до самого Архимеда. Находка Бронзового века самого Архимеда. Находка Бронзового века принадлежит Минойской культуре. принадлежит Минойской культуре. 3.С помощью спирали Архимеда может быть легко 3.С помощью спирали Архимеда может быть легко решена задача о трисекции угла решена задача о трисекции угла Заниматель Заниматель ные факты ные факты

Спираль Архимеда мы Спираль Архимеда мы видим видим

Локон Аньези

Улитка Паскаля

Эвольвента Эвольвента окружности окружности

Эвольвента окружности Эвольвента окружности Леонард Эйлер.. великий математик и механик Леонард Эйлер КтоКто великий математик и механик Когда в 1754 году в 1754 году Когда При При Эвольвента – частный случай эпициклоиды, при Эвольвента – частный случай эпициклоиды, при каких которой образующая окружность перекатывается по каких которой образующая окружность перекатывается по обсто кругу бесконечно большого радиуса, то есть по кругу бесконечно большого радиуса, то есть по обсто ятель прямой линии. ятель прямой линии. ствах ствах Зани Зани математе льныльны е е фактфакт ыы По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев По эвольвенте обрабатывают профиль зубьев зубчатых колёс. Эвольвента окружности всегда зубчатых колёс. Эвольвента окружности всегда занимала особое положение среди важнейших занимала особое положение среди важнейших специальных кривых, так как по теории эта кривая специальных кривых, так как по теории эта кривая должна давать предельно точную развертку должна давать предельно точную развертку окружности при условии равенства длины расчетной окружности при условии равенства длины расчетной дуги как части этой окружности, длине хорды, дуги как части этой окружности, длине хорды, соединяющей оба конца этой расчетной дуги соединяющей оба конца этой расчетной дуги окружности. окружности.

Домашнее задание найти и нарисовать где мы видим эти кривые в жизни ( или где они применяются в технике)