Теорема 1:
Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество
p(x) s(x)q(x) + r(x) (1)
Доказательство:
Если р(х) – делимое, х – а – делитель (многочлен первой степени), q(х) – частное и r – остаток (число), то по формуле (1) получаем:
р(х) = (х – а)q(х) + r. (2)
Подставив в формулу (2) вместо х значение а , получим р(а) = (а – а)q(а) + r, т. е. р(а) = r, что и требовалось доказать.
Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.
Если р(а) = 0, то в формуле (2) r = 0 и она принимает вид р(х) = (х – а)q(х). Это значит, что многочлен р(х) делится на
х – а.
Схема Горнера
Для деления многочлена на двучлен х – а можно использовать специальный приём, который обычно называют схемой Горнера.
Рассмотрим суть приёма для случая, когда делимое – многочлен четвёртой степени.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.