Презентация по теме "Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на многочлен". 11 класс, УМК А.Г. Мордкович (профильный уровень)

11 класс

Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество
p(x) s(x)q(x) + r(x) (1)

В формуле (1) многочлен р(х) называют делимым, s(x) – делителем,q(x) – частным (или неполным частным),r(x) – остатком. 

Пример 1. Выполнить деление с остатком многочлена на x – 2.

Пример 1. Выполнить деление с остатком многочлена на x – 2.

Здесь - делимое,
x – 2 – делитель,
2х + 3 – частное (неполное частное),
3 – остаток.

Пример 2. Разделите многочлен  на многочлен

Деление многочлена на двучлен х – а.

Теорема 2: (теорема Безу)
Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен х – а равен р(а) (т. е. значению многочлена р(х) при х = а).

Доказательство:

Если р(х) – делимое, х – а – делитель (многочлен первой степени), q(х) – частное и r – остаток (число), то по формуле (1) получаем:
р(х) = (х – а)q(х) + r. (2)
Подставив в формулу (2) вместо х значение а , получим р(а) = (а – а)q(а) + r, т. е. р(а) = r, что и требовалось доказать.

Найдём, например, остаток от деления многочлена р(х) = на двучлен х – 2.
По теореме Безу остаток равен р(2). Имеем: р(2) = = 3.

Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.
Если р(а) = 0, то в формуле (2) r = 0 и она принимает вид р(х) = (х – а)q(х). Это значит, что многочлен р(х) делится на
х – а.

Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен х – а.

Для деления многочлена на двучлен х – а можно использовать специальный приём, который обычно называют схемой Горнера.
Рассмотрим суть приёма для случая, когда делимое – многочлен четвёртой степени.

Пусть р(х) = .
Разделив р(х) на х – а, получим
р(х) = (х – а)q(х) + r, где q(х) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны: q(x) =
Итак,

Раскрыв скобки в правой части данного тождества, получим:

Отсюда имеем: b = k, c = m – ka,
d = n – ma, e = s – na, f = r – sa.
k = b,
m = ka + c,
n = ma + d,
s = na + e,
r = sa + f.

Эти соотношения удобно записать в виде таблицы:

Пример 3. Используя схему Горнера, разделить многочлен р(х) на двучлен:

р(х) =
на х + 2.