Презентация по теме "Многогранники"

Многогранником  называется тело,  поверхность которого  состоит из конечного  числа многоугольников,  называемых гранями. Стороны и вершины этих многоугольников     называются ребрами и вершинами.  Отрезки, соединяющие вершины  многогранника, не принадлежащие одной  грани, называются диагоналями.

Куб Многогранник, поверхность которого  состоит из шести квадратов Параллелепипед Многогранник, поверхность которого  состоит из шести параллелограммов Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется  прямоугольным, если все его грани  прямоугольники

Призма  Многогранник, поверхность которого состоит из двух  равных многоугольников и параллелограммов, имеющих  общие стороны с каждым из оснований. н а к л о н н а я п р я м а я в ы с о т а Два равных многоугольника  называют  основаниями призмы Параллелограммы называют   боковыми гранями призмы Перпендикуляр, проведенный из вершины одного  основания к плоскости другого основания называют  высотой.

Площадь  призмы Sполн. = Sбок. + 2Sосн h b a Теорема: Площадь боковой поверхности прямой  призмы равна произведению периметра основания  на высоту. Sбок. = Ph Sбок. = ah + ah +bh + bh =           = h( 2a + 2b) = Ph

Пирамида Многогранник, поверхность которого состоит из  многоугольника и треугольников, имеющих общую вершину Р Н Многоугольник называют основанием пирамиды Треугольники называют боковыми гранями Общую вершину называют вершиной пирамиды Перпендикуляр РН называют   высотой Sполн. = Sбок. + Sосн.

Правильная пирамида  Основание правильный многоугольник, высота опущена  в центр основания. Боковые ребра равны Р Боковые грани – равные  равнобедренные треугольники Основание высоты совпадает  с центром вписанной или  описанной  окружности Перпендикуляр РЕ называют    апофемой Е Теорема: Площадь боковой поверхности правильной  пирамиды равна половине произведения периметра  основания на апофему Sбок. =  Рd 1 2

Усеченная пирамида Боковые грани – трапеции Теорема: Площадь боковой поверхности правильной  усеченной пирамиды равна половине произведения  полусуммы периметров оснований на апофему Sбок. =  1 2 ( 1  Р dР ) 2

Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр Куб

Правильный тетраэдр четырёх Составлен из равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º. Рис. 1

Правильный октаэдр Составлен из восьми треугольников. Каждая равносторонних вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма каждой вершине 240º. плоских углов при Рис. 2

Правильный икосаэдр Составлен из двадцати треугольников. Каждая равносторонних вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º. Рис. 3

Куб (гексаэдр)  Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна квадратов. 270º. Рис . 4

Правильный додекаэдр  правильных Составлен из двенадцати пятиугольников. Каждая является вершиной трёх вершина додекаэдра плоских углов при каждой Следовательно, сумма вершине равна 324º. правильных пятиугольников. Рис. 5

Названия многогранников  пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра»  грань; «тетра»  4; «гекса»  «окта»  8; «икоса»  20; «додека»  12. 6;

Правильные многогранники мира Платона в философской картине Правильные многогранники иногда называют Платоновыми  телами, поскольку они занимают видное место в философской картине  мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок.  428 – ок. 348 до н.э.).        Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли,  воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх  правильных многогранников.         Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена  вверх, как у разгоревшегося пламени.         Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду.         Куб – самая устойчивая из фигур – землю.        Октаэдр – воздух.         В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями  вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.         Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и  почитался главнейшим.        Это была одна из первых попыток ввести в науку идею  систематизации.

Согласно философии Платона тетраэдр огонь тетраэдр огонь вода икосаэдр икосаэдр вода октаэдр воздух октаэдр воздух гексаэдр земля гексаэдр земля додекаэдр вселенная додекаэдр вселенная

«Космический кубок» Кеплера Кеплер  предположил,  что  существует  связь  между пятью правильными многогранниками и шестью  открытыми  к    тому  времени  планетами  Солнечной  системы.         Согласно этому предположению, в сферу орбиты  Сатурна  можно  вписать  куб,  в  который  вписывается  сфера  орбиты  Юпитера.  В  неё,  в  свою  очередь,  вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты  Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр,  к  который  вписывается  сфера  орбиты  Земли.  А  она  описана  около  икосаэдра,  в  который  вписана  сфера  орбиты  Венеры.  Сфера  этой  планеты  описана  около  октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.        Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила  название    «Космического  кубка»  Кеплера.  Результаты  своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна  мироздания».  Он  считал,  что  тайна  Вселенной  раскрыта.                Год  за  годом  учёный  уточнял  свои  наблюдения,  перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе  силы  отказаться  от  заманчивой  гипотезы.  Однако  её  следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где  говориться о кубах средних расстояний от Солнца.  Рис. 6 Модель Солнечной системы И. Кеплера

Икосаэдро- додекаэдровая структура Земли очаги  культур  икосаэдро­додекаэдровую                Идеи  Платона  и  Кеплера  о  связи  правильных  многогранников  с  гармоничным  устройством  мира  и  в  наше  время  нашли  своё  продолжение  в  интересной  научной  гипотезе,  которую  в  начале  80­х  гг.  высказали  московские  инженеры  В.  Макаров  и  В.  Морозов.  Они  считают,  что  ядро  Земли  имеет  форму  и  свойства  растущего  кристалла,  оказывающего  воздействие  на  развитие всех природных процессов, идущих на планете.  Лучи  этого  кристалла,  а  точнее,  его  силовое  поле,  обуславливают  структуру  Земли (рис. 7).  Она проявляется в том, что в земной коре  как  бы    проступают  проекции  вписанных  в  земной  шар  правильных  многогранников: икосаэдра и додекаэдра.        Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль  икосаэдро­додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины  рёбер  многогранников,  называемых  авторами  узлами,  обладают  рядом  специфических  свойств,  позволяющих  объяснить  некоторые  непонятные  явления.  Здесь  располагаются  и  цивилизаций:  Перу,  Северная  Монголия,  Гаити,  Обская  культура  и  другие.  В  этих  точках  наблюдаются  максимумы  и  минимумы  атмосферного  давления,  гигантские  завихрения  Мирового  океана.  В  этих  узлах  находятся озеро Лох­Несс, Бермудский треугольник.                Дальнейшие  исследования  Земли,  возможно,  определят отношение к этой научной гипотезе, в которой,  как видно, правильные многогранники занимают важное  место. древнейших  Рис. 7 Икосаэдро- додекаэдр структура овая Земли

Формула Эйлера Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2 Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В  Р = 2

Теорема Эйлера Число граней + число вершин ­ число ребер = 2. Многогранник Число граней Число вершин Число ребер тетраэдр 4 4 6 октаэдр 8 икосаэдр 20 6 12 12 30 додекаэдр 12 20 30 куб 6 8 12

Элементы симметрии правильных  многогранников тетраэдр октаэдр Икосаэдр гексаэдр додекаэдр Центры  симметрии Оси  симметрии Плоскости  симметрии ­ 3 6  1 9 9 1 15 15 1 9 9 1 15 15