Показательная функция, её свойства и график
Показательная функция,
её свойства и график
Содержание Понятие функции у = аx
Содержание
Понятие функции у = аx
Применение показательной функции
Свойства показательной функции
График показательной функции
Показательные уравнения
Показательные неравенства
Понятие показательной функции
Понятие показательной функции
.
Функцию вида
y = ах, где а ≠ 1, a > 0
называют
показательной функцией
Например, в теории межпланетных путешествий решается задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v
1) Например, в теории межпланетных путешествий решается задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости vo, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса
Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов
топлива определяется формулой:
М = m(ev/vo-1) (формула К.Э. Циолковского).
Например, для того чтобы ракета с массой 1,5т имела скорость 8000м/с, надо взять примерно 80т топлива.
Радиоактивный распад вещества задаётся формулой m = m0(1/2)t/tо, где m и mо – масса радиоактивного вещества в момент времени t и в начальный момент времени…
2) Радиоактивный распад вещества задаётся формулой m = m0(1/2)t/tо, где m и mо – масса радиоактивного вещества в момент времени t и в начальный момент времени t = 0; T - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов
Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается.
Через некоторое время остаётся половина первоначального количества вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество.
Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря описывается формулой p = pо ∙ ak , где pо – атмосферное давление…
3) Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря описывается формулой p = pо ∙ ak, где pо – атмосферное давление над уровнем моря, а – некоторая постоянная.
Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов
Барограф метеорологический
анероидный
Погодная станция Oregon Scientific
Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря
3) Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря
Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов
При а > 1 функция возрастает на
an ∙ am = an + m
an : am = an − m
(an)m = anm
(ab)n = an ∙ bn
(a : b)n = an : bn
а) При а > 1 функция возрастает на R;
б) при 0 < а < 1 функция убывает на R.
а) Нулей не имеет;
б) точка пересечения с осью ординат (0; 1),
т. к. у(0) = а0 = 1.
Свойства показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0
Ни четная функция, ни нечетная.
D(y) = (-∞; +∞),
E(y) = (0; +∞).
.
Не ограничена сверху, ограничена снизу.
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Непрерывна. Выпукла вниз.
График показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0 х у 0 y = ах, а > 1 1
График показательной функции y = ах, а ≠ 1, a > 0
х
у
0
y = ах, а > 1
1
.
y = ах, 0 < а < 1
х
у
0
1
Показательные уравнения Уравнения вида af(x) = аh(х), где а ≠ 1, a > 0 называют показательными уравнениями af(x) = аh(х) f(x) = h(х) ⟺
Показательные уравнения
Уравнения вида af(x) = аh(х), где а ≠ 1, a > 0
называют показательными уравнениями
af(x) = аh(х)
f(x) = h(х)
⟺
Методы решения показательных уравнений:
Функционально-графический метод.
Метод уравнивания показателей.
Метод введения новой переменной.
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 4
Пример 5
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 6
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 7
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 8
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 9 (однородное уравнение)
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 10 (составление отношения)
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 11 (скрытая замена переменной)
+
= 4
Показательные уравнения. Примеры
Показательные уравнения. Примеры
Пример 11 (скрытая замена переменной)
+
= 4
Показательные неравенства Неравенства вида af(x) > аh(х), где а ≠ 1, a > 0 называют показательными неравенствами af(x) > аg(х) f(x) > g(х) f(x) <…
Показательные неравенства
Неравенства вида af(x) > аh(х), где а ≠ 1, a > 0
называют показательными неравенствами
af(x) > аg(х)
f(x) > g(х)
f(x) < g(х)
0 < а < 1
а > 1
af(x) > аg(х) ⟺
(а – 1)(f(x) – g(x)) > 0
или
Показательные неравенства. Примеры
Показательные неравенства. Примеры
Пример 1
Пример 2
Показательные неравенства. Примеры
Показательные неравенства. Примеры
Пример 3
Показательные неравенства. Примеры
Показательные неравенства. Примеры
Пример 4
Показательные неравенства. Примеры
Показательные неравенства. Примеры
Пример 4
Используемые материалы Алгебра и начала анализа
Используемые материалы
Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2008
http://www.physics.org/ -
http://www.mathematics.ru/courses/algebra/design/index.htm -
http://www.megabook.ru/index.asp - Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
