Презентация "Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов.

МОУ «БСОШ»

Содержание Содержание Формулы сокращенного умножения • Вынесение общего множителя за скобк и • Способ группировки • Разложение квадратного трехчлена на  множители К содержанию

Формулы сокращенного Формулы сокращенного умножения умножения № Название 1 Квадрат суммы 2 Квадрат разности 3 Разность квадратов 4 Куб суммы 5 Куб разности 6 Сумма кубов 7 Разность кубов Формула  a (a  2 b)  b)­(a  b)  a b)  3 a b)   2 (a  b)   (a  b)  b  3 b  b  3 b (a (a (a (a (a (a        b) a 2 2 2 2 ab2  b  b ab2  2 b a  2 ab3ba3  ab3ba3 2 ab )b a 2 ab )b a   2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2

1.1. Квадрат суммы Квадрат суммы   (a a 2 2 2 b К таблице К содержанию  2 b ab2 b) Доказательство: 2b)  ab   ba )ba()ba(   ab2 b a 2 2 (a   a 2

2. Квадрат разности 2. Квадрат разности (a  2 b)  2 a ab2  2 b Доказательство:  2b)) ( (a  2 2 a b) 2b)  ( b) (a   2a( 2ab  2 b 2  a К таблице К содержанию

3. Разность квадратов 3. Разность квадратов a b)­(a  b) (a    2 b 2 Доказательство:                              (a b)­(a  b)   a  2 ab ab b            2 a  2 2 b К таблице К содержанию

4. Куб суммы 4. Куб суммы  (a b)  a 3 3 2 ab3ba3  2  3 b  Доказательство:  (a   3b)                                           2b) b) (a (a     2 3 2 2 2 3  bab2a b ab 2ab a                                                         2 2  b) (a 2ab )b (a                                               3 2 2 3 b3a a 3ab b К таблице К содержанию

5. Куб разности 5. Куб разности 2 (a  3 b) a  3 ab3ba3  2  3 b Доказательство: 3  a (a  2 (3a  3 a  3b) ( (a    3a( b) b)  2 b3a 3ab  3b))  ( b)  3 b 2 2 3  К таблице К содержанию

6. Сумма кубов 6. Сумма кубов   (a  b) ab  (a  2 2 )b 3  a 3 b Доказательство: (a   (a  b) 2  ab  2 )b   3 a 2 ba  2 ab  2 ba  2 ab  3 b a  3 b 3 К таблице К содержанию

7. Разность кубов 7. Разность кубов (a   (a  b) 2  ab  2 )b  3 a 3 b Доказательство:   (a  b) ab  2  2 )b  (a 3  a 2 ba  2 ab  2 ba  2 ab  3 b a  3 b 3 К таблице К содержанию

Вынесение общего Вынесение общего множителя за скобки

Алгоритм нахождения общего Алгоритм нахождения общего множителя нескольких множителя нескольких одночленов одночленов  Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).  Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.  Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример Пример Разложить на множители: Разложить на множители: xx44yy3 3 - - 22xx33yy2 2 + + 55xx22.. Воспользуемся сформулированным алгоритмом. 1) Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1. 1) Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2. 2) Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. случае целесообразнее вынести -x2. Получим: Вывод: за скобки можно вынести x2. Правда, в данном -x-x44yy33--22xx33yy22++55xx22=-x=-x22(x(x22yy33++22xyxy22--5)5).. К содержанию

Способ Способ группировки группировки Бывает, что члены многочлена не имеют  общего множителя, но после заключения  нескольких членов в скобки (на основе  переместительного и сочетательного законов  сложения) удается выделить общий  множитель, являющийся многочленом.

Алгоритм разложения многочлена на Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки: множители способом группировки:  1. Сгруппировать его члены так, чтобы  слагаемые в каждой группе имели общий  множитель 2. Вынести в каждой группе общий множитель в  виде одночлена за скобки 3. Вынести в каждой группе общий множитель (в  виде многочлена) за скобки.

Для уяснения сути способа Для уяснения сути способа группировки рассмотрим группировки рассмотрим следующий пример: следующий пример: разложить на множители разложить на множители xy–6+3x–2y многочлен xy–6+3x–2y многочлен

Первый способ группировки: xy-6+3x-2y= =(xy-6)+(3x-2y). Группировка неудачна.

Второй способ группировки xy­6+3x­2y=(xy+3x)+(­6­2y)=  =x(y+3)­2(y+3)= =(y+3)(x­2).

Третий способ группировки: xy­6+3y­2y=(xy­2y)+(­6+3x)=   =y(x­2)+3(x­2)= =(x­2)(y+3).

xy­6+3y­2y=(x­2)(y+3). Как видите, не всегда с первого раза  группировка оказывается удачной. Если  группировка оказалась неудачной, откажитесь  от нее, ищите иной способ. По мере  приобретения опыта вы будете быстро  находить удачную группировку. К содержанию

Разложение квадратного Разложение квадратного трехчлена на множители трехчлена на множители 2 ax  bx  (xac  (x)x 1 )x 2 где  x ­ x, 2 1 корни     квадратног  трехчлена о  2 ax bx  c

2x2  24­x13   x (2  ()3 x 2( x )8  () )8 x 3 2 К содержанию