Решение комбинаторных задач
Решение комбинаторных задач
Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы? 9 способов
Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают
3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?
9
способов
Задача №1.
Правило суммы
Это важно
Важно помнить, что выбирается не просто красная, белая или желтая роза, а одна конкретная роза: эта красная или эта белая, или эта желтая роза.
Правило суммы Если некоторый элемент
Правило суммы
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В – m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.
A – n способов
В – m способов
А или В – (n + m)способов
Вернуться к решению задачи №3
Задача №2. В столовой есть 2 первых блюда и 3 вторых
Задача №2.
В столовой есть 2 первых блюда и 3 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?
Первое блюдо:
Второе блюдо:
3 + 3 =
Правило произведения
2 ∙ 3 = 6 способов
2
3
Правило произведения Если некоторый элемент
Правило произведения
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В – m способами, то пару А и В можно выбрать n ∙ m способами.
A – n способов
В – m способов
А и В – (n ∙ m)способов
Вернуться к решению задачи №3
На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина
На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина.
Задача №3.
Правило суммы
а) Сколькими способами можно взять один плод?
8 + 3 + 4 = 15 способов
б) Сколькими способами можно взять:
яблоко с грушей
яблоко с апельсином
грушу с апельсином
яблоко, грушу и апельсин
Правило произведения
8 · 3 = 24 способа
8 · 4 = 32 способа
3 · 4 = 12 способов
Выбирается 1 плод.
Выбирается 2 или 3 плода.
8 · 3 · 4 = 96 способов
На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина
На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина.
Задача №3.
в) Сколькими способами можно взять два фрукта
с разными названиями?
Применяются оба правила.
Правило произведения
Правило суммы
Выбирается пара.
Пара рассматривается
как единое целое.
8 · 3 + 8 · 4 + 3 · 4 = 24 + 32 +12 = 68 способов
И пакетике драже лежат 9 красных, 10 синих и 12 зеленых конфет
И пакетике драже лежат 9 красных, 10 синих
и 12 зеленых конфет.
Задача №4.
Самостоятельная работа.
а) Сколькими способами можно взять 1 конфету?
б) Сколькими способами можно взять:
в) Сколькими способами можно взять две конфеты разного цвета?
Проверка(5)
а) 9 + 10+ 12 = 31способ
б) 9 · 10 = 90 способов
9 · 12 = 108 способов
10· 12 = 120 способов
в) 9 · 10 + 9 · 12 + 10 · 12 = 318 способов
красную и синюю конфеты
красную и зеленую конфеты
синюю и зеленую конфеты
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.
Задача №5.
1 способ (перебор)
1
7
4
11
14
17
41
44
47
71
74
77
Ответ: 9 чисел
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.
Задача №5.
2 способ (построение дерева различных вариантов)
4
7
4
1
1
7
1 цифра
2 цифра
4
1
7
4
1
7
Ответ: 9 чисел
11
14
17
41
44
47
71
74
77
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.
Задача №5.
3 способ (использование формулы)
Ответ: 9 чисел
двузначное число
3 · 3 = 9 чисел
2цифра числа
(три выбора)
1 цифра числа
(три выбора)
Сколько различных трехзначных чисел можно составить используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться? (задачу решить 3 способами)
Сколько различных трехзначных чисел можно составить используя цифры
3 и 5, если цифры могут повторяться? (задачу решить 3 способами)
Задача №6.
Самостоятельная работа.
Проверка (3)
1 способ
(перебор)
333
335
355
555
553
533
353
535
2 способ
(дерево различных вариантов)
Ответ: 8 чисел
3
5
3
5
3
5
3
5
5
3
3
5
5
3
3 способ
(формула)
2 · 2 · 2 = 8 чисел
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры
0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться.
Задача №7.
Ответ: 12 чисел
двузначное число
3 · 4 = 12 чисел
2 цифра числа (четыре выбора : 0,1,2,3)
1 цифра числа
(три выбора: 1,2,3)
Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 4, 5, 6?
Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры
4, 5, 6?
Задача №8.
Ответ: 6 чисел
трехзначное число
3 · 2 · 1= 6 чисел
2 цифра числа
(два выбора)
1 цифра числа
(три выбора: 4,5,6)
3 цифра числа
(один выбор)
Определение
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториал и обозначается символом n!
3 · 2 · 1= 3! = 6 чисел
n! = 1 · 2 · 3 · … · n = n!
0! = 1
Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами
Комбинаторика – это раздел математики,
посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами…
К комбинаторным задачам относятся также задачи построения математических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.
Историческая справка
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков XVII века Блеза Паскаля и Пьера Ферма, хотя отдельные понятия и факты комбинаторики были известны ещё математикам античности и средневековья. С 50-х годов XX века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.
Блез Паскаль
1623-1662
Пьер Ферма
1601-1665
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
