Презентация: Розы Гвидо Гранди

РОЗЫ ГВИДО  РОЗЫ ГВИДО  ГРАНДИ   ГРАНДИ   Работу выполнил: Окунев Игорь,  Работу выполнил: Окунев Игорь,  студент Самарского колледжа  студент Самарского колледжа  строительства и предпринимательства  строительства и предпринимательства   ФГБОУ ВО «Национальный   ФГБОУ ВО «Национальный  исследовательский Московский  исследовательский Московский  государственный строительный  государственный строительный  университет» университет» Научный руководитель: Егорова Н.  Научный руководитель: Егорова Н.  С., преподаватель С., преподаватель

В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671­1742) создал кривые линии с  В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671­1742) создал кривые линии с  точными  плавными  очертаниями.  Они  были  похожи  на  цветок.  Семейство  этих  точными  плавными  очертаниями.  Они  были  похожи  на  цветок.  Семейство  этих  кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди. Их точные черты не причуды  кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди. Их точные черты не причуды  природы,  подобранными  математическими  природы,  подобранными  математическими  зависимостями.  Эти  зависимости  были  подсказаны  самой  природой,  ведь  в  зависимостями.  Эти  зависимости  были  подсказаны  самой  природой,  ведь  в  большинстве  случаев  абрис  листа  или  цветка  представляет  собой  кривую,  большинстве  случаев  абрис  листа  или  цветка  представляет  собой  кривую,  симметричную  относительно  оси.  Свои    очаровательные  цветы  Гвидо  Гранди  симметричную  относительно  оси.  Свои    очаровательные  цветы  Гвидо  Гранди  собрал в одну книгу и назвал ее «Цветник роз».  собрал в одну книгу и назвал ее «Цветник роз».  предопределены  предопределены  они  они  особо  особо

Полярная система координат       Полярная система координат — двухмерная система   — двухмерная система  координат, в которой каждая точка на плоскости  координат, в которой каждая точка на плоскости  определяется двумя числами — полярным углом и  определяется двумя числами — полярным углом и  полярным радиусом. Полярная система координат  полярным радиусом. Полярная система координат  особенно полезна в случаях, когда отношения между  особенно полезна в случаях, когда отношения между  точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в  точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в  более распространённой, декартовой или  более распространённой, декартовой или  прямоугольной системе координат, такие отношения  прямоугольной системе координат, такие отношения  можно установить только путём применения  можно установить только путём применения  тригонометрических уравнений. тригонометрических уравнений. Основными понятиями этой системы являются точка  Основными понятиями этой системы являются точка  отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке –  отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке –  полярная ось. полярная ось. ρ ρ      Полярный радиус   – длина отрезка О PP Полярный радиус         – длина отрезка О φ φ      Полярный угол   – величина угла между полярной  Полярный угол         – величина угла между полярной  осью и отрезком ОPP. .  осью и отрезком О

Если полюс полярной системы  Если полюс полярной системы  координат совместить с началом  координат совместить с началом  прямоугольной системы координат, а  прямоугольной системы координат, а  полярную ось с положительной полуосью  полярную ось с положительной полуосью  OxOx, то по известным полярным  , то по известным полярным  ρ φ ρ φ координатам точки А ( ; ) её  координатам точки А ( ; ) её  прямоугольные координаты  прямоугольные координаты  вычисляются по формулам:  вычисляются по формулам:

Уравнение  розы  Гвидо  Гранди  в  полярных                      Уравнение  розы  Гвидо  Гранди  в  полярных                      координатах  имеет  вид: координатах  имеет  вид:                                     Обратимся к исследованию формы роз.                                    Обратимся к исследованию формы роз.                               Поскольку  правая  часть  уравнения  не  может  Поскольку  правая  часть  уравнения  не  может                                превышать  величины aa,  то  и  вся  роза  уменьшается  внутри  ,  то  и  вся  роза  уменьшается  внутри  превышать  величины  круга  радиусом aa.  Количество  же  лепестков  розы  зависит  .  Количество  же  лепестков  розы  зависит  круга  радиусом  от величины модуля kk: :  от величины модуля

1.Если модуль k k – целое число, то роза состоит  – целое число, то роза состоит  1.Если модуль  , и из 2kk лепестков   лепестков   лепестков, при  нечетном kk, и из 2 из из kk лепестков, при  нечетном  при kk четном.  четном. при

2.Если модуль k k – рациональное число, равное – рациональное число, равное 2.Если модуль  лепестков в случае, когда оба числа nn и   и d d  то роза состоит из nn  лепестков в случае, когда оба числа  то роза состоит из  нечетные, и из 2n n лепестков, если одно из этих чисел является  лепестков, если одно из этих чисел является  нечетные, и из 2 четным. четным. При этом, в отличие от первого случая каждый следующий  При этом, в отличие от первого случая каждый следующий  лепесток будет частично перекрывать предыдущий.                       лепесток будет частично перекрывать предыдущий.                                                                                         Задавая  параметр                                                                     Задавая  параметр отношением  натуральных  чисел  можно  получить   отношением  натуральных  чисел  можно  получить   замкнутые кривые,  при  определенных  условиях   замкнутые кривые,  при  определенных  условиях   превращающиеся  в        лепестковые  цветы  или в  ажурные   превращающиеся  в        лепестковые  цветы  или в  ажурные   розетки,  которые могут     служить  элементами  декора  или   розетки,  которые могут     служить  элементами  декора  или   орнамента.  орнамента.

3.Если модуль kk – иррациональное число, то роза   – иррациональное число, то роза  3.Если модуль  состоит из бесчисленного множества лепестков,  состоит из бесчисленного множества лепестков,  частично накладывающихся друг на друга.  частично накладывающихся друг на друга.

СВЯЗЬ С ДРУГИМИ КРИВЫМИ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ КРИВЫМИ Кардиоида Кардиоида Спираль Архимеда   =ρ kφ   Спираль Архимеда

Лемниската ρ2=2c2 cos2φ Лемниската ρ Полярная роза   =2 sin4 Полярная роза      φ

В фотографии В фотографии      На бирже На бирже В военном деле В военном деле В медицине В медицине В системах идентификации человека В системах идентификации человека

В математическом дизайне и архитектуре малых форм  В математическом дизайне и архитектуре малых форм

В ландшафтном дизайне  В ландшафтном дизайне

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Мной созданы несколько эскизов орнамента. Изучение линий      Мной созданы несколько эскизов орнамента. Изучение линий  Гвидо Гранди натолкнуло меня выполнить эскизы орнамента в  Гвидо Гранди натолкнуло меня выполнить эскизы орнамента в  виде кардиоид и роз. Несколько моих разработок я здесь  виде кардиоид и роз. Несколько моих разработок я здесь  представлю. представлю.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1.Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства,  1.Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства,  применение (справочное       руководство). применение (справочное       руководство). 2.Гильберд Д. Наглядная геометрия. 2.Гильберд Д. Наглядная геометрия. 3.Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. 3.Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. 4. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии 4. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии 5. http://matematikaiskusstvo.ru/rosesgrandy.html –  5. http://matematikaiskusstvo.ru/rosesgrandy.html –  математика и  искусство. математика и  искусство. 6. http://mathworld.wolfram.com/Rose.html­ формы кривых  6. http://mathworld.wolfram.com/Rose.html­ формы кривых  Гранди. Гранди. 7. http://sibac.info/11124 ­ математическое моделирование в  7. http://sibac.info/11124 ­ математическое моделирование в  дизайне и архитектуре малых форм. дизайне и архитектуре малых форм. 8. http://gvidograndi.jimdo.com/ ­ розы Гвидо Гранди. 8. http://gvidograndi.jimdo.com/ ­ розы Гвидо Гранди.