Презентация урока по алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии" (9 класс)

Прогрессио –  движение вперед!                                                              ­  будешь как я!

4

прогрессии 5

арифметическая прогрессия   d =    геометрическая прогрессия    q = 3 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия     q =  1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…  2) 3; 9; 27; 81; 243;…  3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) –4; –8; –16; –32; …  5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6) –2; –4; – 6; – 8; … последовательность  арифметическая прогрессия d = – –  чисел 2 22

àn  a n 1 ( )1 d b n  n qb 1 1 7

an+1=an+d d = an ­а1 an=а1+d (n­1)  a n  a n  1 a n   1 2 a 1 S n  a n  n  2 a1, a2, a3, . . . Установите «родство» прогрессий bn+1=bn ∙q q =bn+1:bn bn = b1qn­1  характеристические  свойства  b n  b n   b 1 n  1 S n  bqb n 1 q   1  ; 1 q

3)   Дано: (а n ) арифметическая  прогрессия   а1 = 11    d = 2            Найти: а4 . Решение: используя формулу  а n= а 1+ ( n – 1) d  а4 = а1 +3 d ;  а = 11+ 3*2 =11+6 =17                                         Ответ: 17. Решение

2) Дано: (b n ) геометрическая  прогрессия  b1= 5    q = 3           Найти: b3 ;   b5.  Решение: используя формулу b n  = b1 q n­1 b3 =b1q2  = 5 . 32  =5 . 9=45  b5 =b1q4  = 5 . 34  =5 . 81=405                             Ответ:45; 405.  Решение

Истинно или ложно каждое высказывание 1. В арифметической прогрессии     2,4; 2,6;… разность равна  2. 2. В геометрической прогрессии    0,3; 0,9;… третий член равен 2,7 3. 11­ый член арифметической прогрессии, у d  4,0   которой                                   равен 0,2 ;2,4  a 1

Проверь себя! 1. В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;… разность равна 2. d = 2,6 – 2,4 = 0,2   высказывание  2. В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;… третий член равен ложно 2,7 b 3 33,0 2 7,2 высказывание истинно 3. 11-ый член арифметической прогрессии, у d a 1  которой  4,0  104,02,4 ;2,4  a 11 высказывание ложно равен 0,2 42,4  2,0

Sn  a 2  n a 1  2 S n  n )  1(1 b  1 q q , q  1 13

Геометрическая  прогрессия ; )1 ;  1  1  1 ( n  ;  b n qb 1 b n   b n b n  bqb n 1  1 q  n qb ( 1 1 q b q 1   1   )1 q  ; , ;.1 .4 S n .5 S n .6 S n , q  ;1 Арифметическая  прогрессия .1 b n .2 b n  );1 .3 q  .1 a n .2 a n  a 1 a  n  1 .3 d .4 S    a  1 n a 1  n nd (  a 2 a a n n ;   2  n  1 ;  n ; 2  .5 S n a 1  )1  n . ( nd 2 Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия

Царь древней Индии Шерам пригласил к себе  изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы  награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры.          Тогда Сета попросил царя на первую клетку  шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую  клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку.  Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу  изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком “ничтожной” для выполнения этой просьбы.

S64=264­1= =18446744073704551615

Задача из ЕГЭ – Юноша подарил девушке в первый день 3 цветка, а в  каждый последующий день дарил на 2 цветка больше,  чем в предыдущий день. Сколько денег он потратил на  цветы за две недели, если один цветок стоит 10 рублей?

Решение 1 a 3 2d 1. Пусть              (кол­во цветов, купленных в 1­ый день),  тогда            (на столько юноша увеличивал каждый день  кол­во купленных цветков). 2. Найдем       (кол­во цветков, купленных за две недели): a 2 1 S n  )1 d n 14S  n ( 2 13 d   2 2 1 a  3*2   2*13 2 S 14 14* 7*32 3. Найдем количество потраченных денег на цветы:                                             (руб) Ответ: юноша потратил за две недели 2240 рублей. 10*14 2240 14* 224 10*   S   224

Математика и литература не так  далеки друг от друга, как многие  думают.        Искусство и наука требуют фантазии,  творческой смелости, зоркости в  наблюдении различных явлений жизни.

Ямб Унылая пора, очей очарованье...

ЯмбЯмб  ­­  это стихотворный размер с  это стихотворный размер с  ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8...  Номера  Номера  ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8... ударных слогов образуют арифметическую  ударных слогов образуют арифметическую  прогрессию с первым членом 2 и разностью  прогрессию с первым членом 2 и разностью  прогрессии 2. прогрессии 2.           ЯмбЯмб   «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»  Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Даже в литературе мы встречаемся  с с  Даже в литературе мы встречаемся математическими понятиями!  математическими понятиями!  Так, вспомним строки из Так, вспомним строки из "Евгения Онегина". "Евгения Онегина". ...Не мог он ямба от хорея, ...Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить... Как мы не бились отличить...

Составьте геометрическую  прогрессию: • Ежедневно каждый болеющий гриппом      может заразить четырех окружающих.              1; 4; 16; 64;…               Дима на перемене съел булочку. Во время еды в                        кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через                 каждые 20 минут происходит деление бактерий (они                 удваиваются).  • • • •                          30; 60; 120; 240;… • Каждый курильщик выкуривает в среднем       8 сигарет в сутки. После выкуривания одной       сигареты в легких оседает 0,0002 грамма       никотина и табачного дегтя. С каждой       последующей сигаретой это количество       увеличивается в два раза.                      0,0002; 0,0004; 0,0008;…

4. «Покупка лошади» В старинной арифметике Магницкого есть Некто продал лошадь за 156 руб. Но следующая забавная задача. покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу говоря: -Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие -Если по-твоему цена лошади высока, то условия: Гвоздей в каждой подкове 6 купи только её подковные гвозди, лошадь шт. За первый гвоздь дай же получишь тогда в придачу бесплатно. мне всего 1/4 коп., за второй 1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д. Покупатель принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 руб.

Решение:          за 24 подковных гвоздя пришлось уплатить                             1                                                                                                                                                                                                                             4                                                                                          копеек. 16;8;4;2;1; 1 2 ;... ;  Эти числа составляют геометрическую  прогрессию b1=      , q=2, n=24. Найдите сумму  первых 24­х членов этой прогрессии:  . коп s   24  2 1  12 4194303 1 4 3 4    41943 руб . 1 4 24  То есть 41943 рубля. За такую цену и лошадь продать не жалко!

Эксперс -,о,п Р О 1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…  2) 3; 9; 27; 81; 243;…  3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) ––4; ––8; ––16; –32–32; …  5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6) –2–2; ––4; – 6– 6; – 8– 8; … 2 22 арифметическая прогрессия   d =    геометрическая прогрессия    q = 3 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия     q =  последовательность  арифметическая прогрессия d = – –  чисел

В клинописных табличках вавилонян, как и в              египетских папирусах, относящихся ко 2  тысячелетию до нашей эры, встречаются  примеры арифметических и геометрических  прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с  прогрессиями, дошли до нас в документах  Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к  прогрессиям, были известны и индийским  учёным.

Правило для нахождения суммы членов  произвольной арифметической  прогрессии даётся в «Книге  абака»  (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования  любой конечной геометрической  прогрессии встречается в книге Н. Шюке  «Наука о числах», увидевшей свет  в 1484  году. Наука о  числах

Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения? b15 = 2∙214 = 32 768

бактерии…       Способность к размножению у бактерий  настолько велика, что если бы они не гибли от  разных причин, а беспрерывно размножались,  то за трое суток общая масса потомства  одной только бактерии могла бы составить  7500 тонн. Таким громадным количеством  бактерий можно было бы заполнить около 375  железнодорожных вагонов.

в пищевой (для промышленности приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.)   в фармацевтической  промышленности  (для создания  лекарств, вакцин) в сельском  хозяйстве  (для приготовления  силоса, корма  для животных и др.) в коммунальном  хозяйстве и  природоохранных  мероприятиях  (для очистки сточных  вод,ликвидации  нефтяных пятен)

мухи…               “Потомство  пары  мух  съест  мёртвую  лошадь  также скоро как лев”.                                 Карл Линней  Девятое поколение одной  пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км,  или же составило бы нить,  которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.

одуванчик…      “Потомство одного одуванчика за 10 лет  может   покрыть  пространство  в  15  раз  больше суши земного шара”.                                        К. А. Тимирязев

Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев,  дна единственная тля может оставить более 300 млн.  потомков, а за год её потомство  способно будет покрыть  поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

 Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

 Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.  При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.  Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

 Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия.  Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.  Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача: В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?

Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже 4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию: в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек); 9.15 121+81 ·3 =364 (человек); 9.30 364+243 ·3=1093 (человек); 9.45 1093+729 ·3=3280 (человек); 10.00 3280 + 2187·3=9841(человек).

Выводы: Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы  увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине,  в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных  соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно,  нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями. Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности,  также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами  хозяйственной жизни: распределение продуктов,  деление наследства и другими. Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые  Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик  Леонард Фибоначчи.  Нашли много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых  и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия  в практических задачах встречается чаще геометрической.  Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии  широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине,  в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах.  Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что  прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах,  в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.  Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.