Презентация "ВПИСАННЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ"

Итоговое повторение  Геометрия «Вписанные и центральные углы» Учитель математики МБОУ  «Гимназия» Носкова Т.Е.

Углы, связанные с окружностью Угол  с  вершиной  в  центре  окружности  называется  центральным.  Угол, вершина которого принадлежит окружности,  а стороны пересекают окружность, называется  вписанным.  Каждый центральный угол данной окружности  определяет дугу окружности, которая состоит из  точек окружности, принадлежащих этому углу.

Вписанный угол Теорема.  Вписанный  угол  равен  половине  центрального  угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Вписанные  углы,  опирающиеся  на  одну  и  ту  же  дугу  окружности, равны. Вписанный угол измеряется половиной дуги окружности. (угол АСВ = 0,5 дуги АВ)

Угол между касательной и хордой Теорема. Угол, с вершиной на окружности, одна сторона  которого  лежит  на  касательной,  а  вторая  –  пересекает  окружность,  измеряется  половиной  дуги  окружности,  лежащей внутри этого угла. (угол АСВ = 0,5 дуги ВС)

1 Угол с вершиной внутри окружности Теорема.  Угол,  с  вершиной  внутри  окружности,  измеряется  полусуммой  дуг,  на  которые  опираются  данный угол и вертикальный с ним угол. угол А1СВ1 = 0,5(дуга А1В1+ В2А 2)

Угол с вершиной вне окружности Теорема.  Угол,  с  вершиной  вне  окружности,  стороны  измеряется  которого  полуразностью  дуг  окружности,  заключенных  внутри  этого угла. окружность,  пересекают  угол А1СВ1 = 0,5(А1В1 – А2В2)

Угол с вершиной вне окружности Теорема. Угол, с вершиной вне окружности, одна сторона  которого  лежит  на  касательной  к  окружности,  а  вторая  сторона  измеряется  полуразностью  дуг  окружности,  заключенных  внутри  этого угла. окружность,  пересекает  угол АСВ1 = 0,5(АВ1 – АВ2)

Угол с вершиной вне окружности Теорема.  Угол,  с  вершиной  вне  окружности,  стороны  которого лежат на касательных к окружности, измеряется  полуразностью  дуг  окружности,  заключенных  внутри  этого угла.  угол АСВ = 0,5 (дуги АВ – ВА)

Упражнение 1 Чему  равен  вписанный  угол,  опирающийся  на  диаметр окружности?

Решение Угол АСВ –вписанный;  (Вписанный угол равен  половине центрального  угла, опирающегося на ту  же дугу окружности.) угол АСВ = 0,5 угла АОВ  => Угол АСВ = 90о Ответ: 90о.

Упражнение 2 Найдите  центральный  угол  AOB,  опирающийся  на хорду  AB, равную радиусу.

Решение     АОВ ­ равнобедренный Угол АОВ –центральный; АО=ВО – радиусы АО=АВ =>   АОВ –  равносторонний; угол АОВ=60о  (углы  равностороннего треугольника  равны) Ответ: 60о.

Упражнение 3 Угол  ACB  вписан  в  окружность.  Градусные  величины  дуг  AC  и  BC  равны  98о  и  48о  соответственно. Найдите угол ACB.

Решение Дуга АВ=360о ­(98о + 48о)  = 214о   угол АСВ – вписанный  =>  угол АСВ = 0,5 АВ угол АСВ = 107о Ответ: 107о.

Упражнение 4 Найдите  вписанный  угол,  опирающийся  на  дугу, которая составляет    окружности. 1 6

Решение Дуга АВ = 360:6 = 60о ;  угол АСВ – вписанный =>  угол АСВ = 0,5 дуги АВ Угол АСВ = 30о Ответ: 30о.

Упражнение 5 Найдите  вписанный  угол,  опирающийся  на  дугу, которая составляет 10 % окружности.

Решение Дуга АВ = 3,6 * 10 = 36о  Угол АСВ = 0,5 дуги АВ  => Угол АСВ= 18о Ответ: 18о.

Упражнение 6 Вписанный  угол  на  35  меньше  центрального  угла,  опирающегося  на  ту  же  дугу.  Найдите  вписанный угол.

Решение Центральный угол  (АОВ) в два раза больше  вписанного. Если  вписанный (АСВ) равен  х, то  2х= х+35о   2х – х=35о   х=35о Ответ: 35о.

Упражнение 7 Центральный  угол  на  51о  больше  вписанного  угла,  опирающегося  на  ту  же  дугу.  Найдите  вписанный угол.

Решение Центральный угол  (АОВ) в два раза  больше вписанного.  Если вписанный (АСВ)  равен х, то  2х= х+51о   2х – х=51о   х=51о Ответ: 51о.

Упражнение 8 Угол  ACB,  величиной  50о,  вписан  в  окружность.  Найдите градусную величину дуги ACB.

Решение (Вписанный угол равен  половине дуги, на  которую он опирается); Угол АСВ = 50о =>дуга  АВ=100о ;  дуга АСВ=   360о­ 100о=260о Ответ: 260о.

Упражнение 9 Вершины  треугольника  ABC,  вписанного  в  окружность,  делят  окружность  на  части,  градусные величины которых равны 100о, 120о и  140о.  Найдите  наименьший  угол  треугольника  ABC.

Решение Углы А,В,С – вписанные; (Вписанный угол равен  половине дуги  окружности на которую  он опирается) Наименьшая дуга (ВС) =  100о => наименьший угол  ВАС= 50о Ответ: 50о.

Упражнение 10 На рисунке угол ACB равен 30о, угол AEF равен  40о. Найдите угол BDF.

Решение Угол АСВ вписанный;  угол АСВ=30о  => дуга  АВ = 60о ; угол АЕF = 40о   => дуга AF =80о   Дуга ВАF =  80о +60о  =140о ; угол BDF = 70о Ответ: 70о.

Упражнение 11 Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны  45о и 30о соответственно, S – точка пересечения AD  и BC. Найдите угол ASC.

Решение Угол, с вершиной внутри окружности,  измеряется полусуммой дуг, на которые  опираются данный угол и вертикальный с ним  угол. Угол BCD=30о, т.к. это вписанный  угол, то  дуга BD=60о; Угол ABC=45о => дуга АС=90о Угол ASC= 0,5(дуга АС+BD) Угол ASC= 0,5(60о +90о)= 75о Ответ: 75о.

Упражнение 12 Хорда CD пересекает диаметр AB окружности под  углом 60о. Градусная величина дуги AD равна 80о.  Найдите градусную величину дуги BC.

Решение Угол, с вершиной внутри окружности,  измеряется полусуммой дуг, на  которые опираются данный угол и  вертикальный с ним угол. Угол ASD= 0,5(дуга АD+BC) Пусть дуга ВС – х, тогда 60о =0,5(80о +х) 60о =40о +0,5х 0,5х=60о ­40о 0,5х=20о х = 40о S Ответ: 40о.

Упражнение 13 Стороны угла с вершиной C вне окружности  отсекают от окружности дуги A1B1, A2B2,  градусные величины которых равны 30о и 100о.  Найдите угол C.

Решение Угол С=0,5(дуга А 2В 2  ­  дуга А 1В1) Угол С = 0,5(100о ­30о) Угол С= 0,5*70о Угол С = 35о Ответ: 35о.

Упражнение 14 Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от  окружности дуги AB1, AB2, градусные величины которых  равны 60о и 140о соответственно, CA – касательная.  Найдите угол C.

Решение Угол, с вершиной вне окружности,  одна сторона которого лежит на  касательной к окружности, а вторая  сторона пересекает окружность,  измеряется полуразностью дуг  окружности, заключенных внутри  этого угла. Угол С = 0,5(дуга АВ2 ­ АВ1) Угол С = 0,5(140о ­60о) угол С = 40о Ответ: 40о.

Упражнение 15 Точки А, В, С, расположенные на окружности с  центром в точке O, делят эту окружность на три  дуги,  градусные  величины  которых  относятся  как 3 : 4 : 5. Найдите угол AOB.

Решение Пусть хо = 1 часть Всего частей = 3х+4х+5х=  12хо 12х = 360о х = 30о Дуга АВ = 3хо = 3*30о = 90о Угол АОВ – центральный  (центральный угол равен  дуге, на которую он  опирается)  => Угол АОВ = 90о Ответ: 90о.

Упражнение 16 Углы A и C вписанного в окружность пятиугольника  ABCDE равны 120о и 100о соответственно. Найдите угол  DBE.

Решение Угол А, угол С – вписанные; Угол А = 120о, => дуга ВЕ = 240о  (вписанный угол равен половине  дуги, на которую он опирается) Угол С = 100о, => дуга BD = 200о Угол DBE = 0,5(дуга BE – дуга  BD) = 240о – 200о =40о * 0,5=20о   Ответ: 20о.

Упражнение 17 Проведите  прямые  через  каждые  две  точки.  Сколько  общих  точек  имеет  каждая  из  прямых с окружностью?  B A C D Ответ: Прямая  BD  и  окружность  не имеют общих точек. Прямая  AB  и  окружность  имеют только одну общую  точку. Прямые CA, CD, AD, CB и  окружность  имеют  две  общие точки.

Упражнение 18 Прямая AC проходит через центр О Окружности, угол MAO = углу OCM = 30º.  Докажите, что прямая CM является касательной к данной окружности.  Доказательство:        Так как в треугольнике AOM AO=OM, то угол AMO= MAC=30º. В треугольнике AMC  угол AMC=180º­(угол MAC+угол ACH)=180º­(30º +30º)=120º. Поэтому угол OMC=углу  AMC­ угол MCO= 120­30=90, т. е. CM больше OM.                 Итак,  прямая  CM  проходит  через  конец  радиуса  О,  лежащий  на  окружности,  и  перпендикулярна  к  этому  радиусу.  Поэтому  она  является  касательной  к  данной  окружности, что и требовалось доказать.  C 30° M O 30° A

Упражнение 19 На рисунке точка O –  центр окружности,  угол AOB=92°. Найдите  угол ACB. Решение. Угол  AOB  является    центральным  углом  данной  окружности  и  равен 92°, следовательно, дуга  AMB= 92. Угол ACB является  вписанный и опирается на дугу AВ, поэтому  угол ACB=0,5AB=46° Ответ. 46° C  92° M A B

Упражнение 20 На рисунке дуга МАР=120°. Найдите  угол MAP.  Решение.  Угол MAP является вписанным углом окружности и опирается на  дугу МВР .МВР = 360° ­ дуга MAP =  M = 360°­ 120°= 240°, угол MAP =  0,5 МВР = 120° Ответ. Угол MAP = 120° A C P B

Упражнение 21 На рисунке угол АРМ=38°, угол ВСМ=  = 32°. Найдите угол АМР.  Решение.  Вписанные углы РАВ и ВСР опираются на одну и ту же дугу  ВР, следовательно,  угол РАВ = углу PCB = 32°.  Из треугольника AMP получим:  угол АМР = 180°­ (угол MPA + угол PAM ) =  B = 180°­ ( 38°+ 32°) = 110° Ответ. Угол AMP = 110°. P 38° M 32° A C