Презентация по геометрии на тему "Вписанные и центральные углы" может быть использована в 8 классе на уроках итогового повторения или в 9 классе при подготовке к итоговой аттестации. Все задачи имеют решение, имеется теоретический материал, который поможет при решении задач.Данная презентация может быть использована как при итоговом повторении в 9 классе, так и в 8 классе на уроках геометрии.
Итоговое повторение
Геометрия
«Вписанные и центральные углы»
Учитель математики МБОУ
«Гимназия» Носкова Т.Е.
Углы, связанные с окружностью
Угол с вершиной в центре окружности называется
центральным.
Угол, вершина которого принадлежит окружности,
а стороны пересекают окружность, называется
вписанным.
Каждый центральный угол данной окружности
определяет дугу окружности, которая состоит из
точек окружности, принадлежащих этому углу.
Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол равен половине центрального
угла, опирающегося на ту же дугу окружности.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу
окружности, равны.
Вписанный угол измеряется половиной дуги окружности.
(угол АСВ = 0,5 дуги АВ)
Угол между касательной и хордой
Теорема. Угол, с вершиной на окружности, одна сторона
которого лежит на касательной, а вторая – пересекает
окружность, измеряется половиной дуги окружности,
лежащей внутри этого угла.
(угол АСВ = 0,5 дуги ВС)
1
Угол с вершиной внутри окружности
Теорема. Угол, с вершиной внутри окружности,
измеряется полусуммой дуг, на которые опираются
данный угол и вертикальный с ним угол.
угол А1СВ1 = 0,5(дуга А1В1+ В2А 2)
Угол с вершиной вне окружности
Теорема. Угол, с вершиной вне окружности, стороны
измеряется
которого
полуразностью дуг окружности, заключенных внутри
этого угла.
окружность,
пересекают
угол А1СВ1 = 0,5(А1В1 – А2В2)
Угол с вершиной вне окружности
Теорема. Угол, с вершиной вне окружности, одна сторона
которого лежит на касательной к окружности, а вторая
сторона
измеряется
полуразностью дуг окружности, заключенных внутри
этого угла.
окружность,
пересекает
угол АСВ1 = 0,5(АВ1 – АВ2)
Угол с вершиной вне окружности
Теорема. Угол, с вершиной вне окружности, стороны
которого лежат на касательных к окружности, измеряется
полуразностью дуг окружности, заключенных внутри
этого угла.
угол АСВ = 0,5 (дуги АВ – ВА)
Упражнение 1
Чему равен вписанный угол, опирающийся на
диаметр окружности?
Решение
Угол АСВ –вписанный;
(Вписанный угол равен
половине центрального
угла, опирающегося на ту
же дугу окружности.)
угол АСВ = 0,5 угла АОВ
=>
Угол АСВ = 90о
Ответ: 90о.
Упражнение 2
Найдите центральный угол AOB, опирающийся
на хорду AB, равную радиусу.
Решение
АОВ равнобедренный
Угол АОВ –центральный;
АО=ВО – радиусы
АО=АВ => АОВ –
равносторонний;
угол АОВ=60о (углы
равностороннего треугольника
равны)
Ответ: 60о.
Упражнение 3
Угол ACB вписан в окружность. Градусные
величины дуг AC и BC равны 98о и 48о
соответственно. Найдите угол ACB.
Решение
Дуга АВ=360о (98о + 48о)
= 214о
угол АСВ – вписанный
=>
угол АСВ = 0,5 АВ
угол АСВ = 107о
Ответ: 107о.
Упражнение 4
Найдите вписанный угол, опирающийся на
дугу, которая составляет окружности.
1
6
Решение
Дуга АВ = 360:6 = 60о ;
угол АСВ – вписанный =>
угол АСВ = 0,5 дуги АВ
Угол АСВ = 30о
Ответ: 30о.
Упражнение 5
Найдите вписанный угол, опирающийся на
дугу, которая составляет 10 % окружности.
Решение
Дуга АВ = 3,6 * 10 = 36о
Угол АСВ = 0,5 дуги АВ
=>
Угол АСВ= 18о
Ответ: 18о.
Упражнение 6
Вписанный угол на 35 меньше центрального
угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите
вписанный угол.
Решение
Центральный угол
(АОВ) в два раза больше
вписанного. Если
вписанный (АСВ) равен
х, то
2х= х+35о
2х – х=35о
х=35о
Ответ: 35о.
Упражнение 7
Центральный угол на 51о больше вписанного
угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите
вписанный угол.
Решение
Центральный угол
(АОВ) в два раза
больше вписанного.
Если вписанный (АСВ)
равен х, то
2х= х+51о
2х – х=51о
х=51о
Ответ: 51о.
Упражнение 8
Угол ACB, величиной 50о, вписан в окружность.
Найдите градусную величину дуги ACB.
Решение
(Вписанный угол равен
половине дуги, на
которую он опирается);
Угол АСВ = 50о =>дуга
АВ=100о ; дуга АСВ=
360о 100о=260о
Ответ: 260о.
Упражнение 9
Вершины треугольника ABC, вписанного в
окружность, делят окружность на части,
градусные величины которых равны 100о, 120о и
140о. Найдите наименьший угол треугольника
ABC.
Решение
Углы А,В,С – вписанные;
(Вписанный угол равен
половине дуги
окружности на которую
он опирается)
Наименьшая дуга (ВС) =
100о => наименьший угол
ВАС= 50о
Ответ: 50о.
Упражнение 10
На рисунке угол ACB равен 30о, угол AEF равен
40о. Найдите угол BDF.
Решение
Угол АСВ вписанный;
угол АСВ=30о => дуга
АВ = 60о ; угол АЕF = 40о
=> дуга AF =80о
Дуга ВАF = 80о +60о
=140о ; угол BDF = 70о
Ответ: 70о.
Упражнение 11
Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны
45о и 30о соответственно, S – точка пересечения AD
и BC. Найдите угол ASC.
Решение
Угол, с вершиной внутри окружности,
измеряется полусуммой дуг, на которые
опираются данный угол и вертикальный с ним
угол.
Угол BCD=30о, т.к. это вписанный
угол, то дуга BD=60о;
Угол ABC=45о => дуга АС=90о
Угол ASC= 0,5(дуга АС+BD)
Угол ASC= 0,5(60о +90о)= 75о
Ответ: 75о.
Упражнение 12
Хорда CD пересекает диаметр AB окружности под
углом 60о. Градусная величина дуги AD равна 80о.
Найдите градусную величину дуги BC.
Решение
Угол, с вершиной внутри окружности,
измеряется полусуммой дуг, на
которые опираются данный угол и
вертикальный с ним угол.
Угол ASD= 0,5(дуга АD+BC)
Пусть дуга ВС – х, тогда
60о =0,5(80о +х)
60о =40о +0,5х
0,5х=60о 40о
0,5х=20о
х = 40о
S
Ответ: 40о.
Упражнение 13
Стороны угла с вершиной C вне окружности
отсекают от окружности дуги A1B1, A2B2,
градусные величины которых равны 30о и 100о.
Найдите угол C.
Решение
Угол С=0,5(дуга А 2В 2
дуга А 1В1)
Угол С = 0,5(100о 30о)
Угол С= 0,5*70о
Угол С = 35о
Ответ: 35о.
Упражнение 14
Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от
окружности дуги AB1, AB2, градусные величины которых
равны 60о и 140о соответственно, CA – касательная.
Найдите угол C.
Решение
Угол, с вершиной вне окружности,
одна сторона которого лежит на
касательной к окружности, а вторая
сторона пересекает окружность,
измеряется полуразностью дуг
окружности, заключенных внутри
этого угла.
Угол С = 0,5(дуга АВ2 АВ1)
Угол С = 0,5(140о 60о)
угол С = 40о
Ответ: 40о.
Упражнение 15
Точки А, В, С, расположенные на окружности с
центром в точке O, делят эту окружность на три
дуги, градусные величины которых относятся
как 3 : 4 : 5. Найдите угол AOB.
Решение
Пусть хо = 1 часть
Всего частей = 3х+4х+5х=
12хо
12х = 360о
х = 30о
Дуга АВ = 3хо = 3*30о = 90о
Угол АОВ – центральный
(центральный угол равен
дуге, на которую он
опирается) =>
Угол АОВ = 90о
Ответ: 90о.
Упражнение 16
Углы A и C вписанного в окружность пятиугольника
ABCDE равны 120о и 100о соответственно. Найдите угол
DBE.
Решение
Угол А, угол С – вписанные;
Угол А = 120о, => дуга ВЕ = 240о
(вписанный угол равен половине
дуги, на которую он опирается)
Угол С = 100о, => дуга BD = 200о
Угол DBE = 0,5(дуга BE – дуга
BD) = 240о – 200о =40о * 0,5=20о
Ответ: 20о.
Упражнение 17
Проведите прямые через каждые две точки.
Сколько общих точек имеет каждая из
прямых с окружностью?
B
A
C
D
Ответ:
Прямая BD и окружность
не имеют общих точек.
Прямая AB и окружность
имеют только одну общую
точку.
Прямые CA, CD, AD, CB и
окружность имеют две
общие точки.
Упражнение 18
Прямая AC проходит через центр О
Окружности, угол MAO = углу OCM = 30º. Докажите, что
прямая CM является касательной к данной окружности.
Доказательство:
Так как в треугольнике AOM AO=OM, то угол AMO= MAC=30º. В треугольнике AMC
угол AMC=180º(угол MAC+угол ACH)=180º(30º +30º)=120º. Поэтому угол OMC=углу
AMC угол MCO= 12030=90, т. е. CM больше OM.
Итак, прямая CM проходит через конец радиуса О, лежащий на окружности, и
перпендикулярна к этому радиусу. Поэтому она является касательной к данной
окружности, что и требовалось доказать.
C
30°
M
O
30°
A
Упражнение 19
На рисунке точка O – центр окружности, угол AOB=92°. Найдите
угол ACB.
Решение.
Угол AOB является центральным углом данной окружности и
равен 92°, следовательно, дуга AMB= 92.
Угол ACB является вписанный и опирается на дугу AВ, поэтому
угол ACB=0,5AB=46°
Ответ. 46°
C
92°
M
A
B
Упражнение 20
На рисунке дуга МАР=120°. Найдите
угол MAP.
Решение.
Угол MAP является вписанным
углом окружности и опирается на
дугу МВР .МВР = 360° дуга MAP =
M
= 360° 120°= 240°, угол MAP =
0,5 МВР = 120°
Ответ. Угол MAP = 120°
A
C
P
B
Упражнение 21
На рисунке угол АРМ=38°, угол ВСМ=
= 32°. Найдите угол АМР.
Решение.
Вписанные углы РАВ и ВСР опираются
на одну и ту же дугу
ВР, следовательно,
угол РАВ = углу PCB = 32°.
Из треугольника AMP получим:
угол АМР = 180° (угол MPA + угол PAM ) =
B
= 180° ( 38°+ 32°) = 110°
Ответ. Угол AMP = 110°.
P
38°
M
32°
A
C
Углы, связанные с окружностью.ppt
