Презентация "Задачи на определение вероятности"

Задачи на определение вероятности Панарина Л.В. МБОУ Школа № 76 г.о. Самара

• Для решения большинства следующих задач достаточно повторить классическое определение вероятности события: Вероятностью события А называется дробь P(A) = m/n в числителе которой  m  элементарные события, благоприятствующие событию А, а в знаменателе n - число всех элементарных событий. Благоприятствующих событий не может быть больше, чем вообще всех возможных, а значит числитель дроби никогда не превысит знаменатель. В ответе на вопрос о вероятности события должно быть число, удовлетворяющее условию 0 ≤ P ≤ 1. Если вы получили другой ответ, он заведомо неверный.

• Пример 1 На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Решение Если "остальные места неудобны", то удобны именно упомянутые 12 + 18 = 30 мест. Пассажиру В. может достаться одно любое место из 300 мест в самолёте, значит всего возможных событий n = 300. Но "благоприятствующими" будут только те из них, когда пассажир В. попал на удобное место, таких событий, как и мест, m = 30. P(A) = Благоприятные / всевозможные P(A) = 30/300 = 0,1. Ответ: 0,1

• Пример 2 В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом Решение вертолёта. Определим, сколько всего рейсов должен совершить вертолет  30 : 6 = 5 (рейсов).  Турист П. может полететь любым, но "благоприятствующим" будет только один из них - первый. Следовательно n = 5,  m = 1. P(A) = 1/5 = 0,2. Ответ: 0,2

• Пример 3 Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3? Решение Выпишем в ряд заданные числа и отметим те из них, которые делятся на 3. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Получается, что из 10 заданных чисел на 3 делятся 3 числа. Находим ответ по общей формуле P(A) = 3/10 = 0,3. Ответ: 0,3 Замечание. Этот способ решения относится к простейшему случаю, когда отрезок ряда короткий, и его легко выписать явно. Что будет, если задачу изменить, например, так:

• Задача4 Из множества натуральных чисел от 107 до 198 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3? Вспомним, что "на 3 делится каждое третье число в натуральном ряду« (на 4 - каждое четвертое, на 5 каждое пятое ...) и определить количество групп из трёх чисел на участке ряда от 107 до 198. 1, 2, ..., 105, 106, 107, 108, ..., 197, 198, 199, ... На этом участке всего 92 числа: 198 – 107+1 = 92. Они составляют 30 полных групп и одну неполную (92/3 = 30 целых и 2 в остатке). В каждой полной группе есть одно число, которое делится на 3. В неполной группе, которую составляют два последних числа, 197 не делится 3, а 198 делится. Итого у нас 30 + 1 = 31 "благоприятствующее" число из "всего" 92-ух.

• Задача 5 В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Решение Событие A - "выбор билета с вопросом по ботанике". Выбрать можно только один билет (события попарно несовместимы), все билеты одинаковы (события равновозможны) и все билеты доступны школьнику (полная группа). Значит событие "выбор билета" является элементарным. Всего таких событий столько же, сколько билетов, т.е. n = 55. Благоприятствующих событий столько же, сколько билетов с вопросом по ботанике, т.е. m = 11. По формуле P(A) = 11/55 = 1/5 = 0,2. Ответ: 0,2

• Задача 6. • В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Решение Способ I. Способ II. Событие A - "выбор билета без вопроса по неравенствам". Всего 25 Событие A - "выбор билета c вопросом по неравенствам". Также, как билетов, если в 10 билетах есть вопрос по неравенствам, то в 25 - в задаче 1, получаем P(A) = 10/25 = 2/5 = 0,4. Но вопрос этой задачи 10 = 15 билетах его нет. Таким образом, общее число возможных противоположен вопросу задачи 1, т.е. нам нужна вероятность исходов n = 25, число исходов, благоприятствующих событию А, m противоположного события В - "выбор билета без вопроса по = 15. По формуле P(A) = 15/25 = 3/5 = 0,6. неравенствам". Вероятность противоположного события вычисляем по формуле P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6. Ответ: 0,6

• Задача 7 В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Всего спортсменок n = 20, благоприятствующее событие - шарик с номером "1" у китаянки, всего спортсменок из Китая m = 20 - 8 - 7 = 5. По формуле P(A) = 5/20 = 1/4 = 0,25. Ответ: 0,25

• Задача 8 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 - из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. • Задача 9 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.   • Задача 10 Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? • Задача 11 В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. • Задача 12 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.   • Задача 13 Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

• Задача 8 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 - из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Ответ: 0,36   • Задача 9 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Ответ: 0,36   • Задача 10 Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ: 0,225   • Задача 11 В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Ответ: 0,995   • Задача 8 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,93 • Задача 9 Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Ответ: 0,36

Задачи на правила сложения и умножения вероятностей.

• Правило сложения вероятностей:  если A и В несовместимые события, то вероятность того, что наступит хотя бы одно из двух событий А или В, равна сумме их вероятностей. P(A + B) = P(A) + P(B) • Правило умножения вероятностей:  если A и В независимые события, то вероятность одновременного наступления обоих событий А и В, равна произведению их вероятностей. P(A·B) = P(A) · P(B)

• Правило сложения вероятностей для совместимых событий: вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности их произведения. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) • Правило умножения вероятностей для зависимых событий: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло. P(A·B) = P(A) · P(B/A)

• Задача 1 • На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Используем правило сложения, поскольку "вопрос по одной из этих двух тем" означает, что ИЛИ на тему «Вписанная окружность», ИЛИ на тему «Параллелограмм». Причем правило используем в простой форме, потому что события несовместимы. В условии об этом прямо сказано - вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет.  P(A + B) = P(A) + P(B) 0,2 + 0,15 = 0,35. 0 , 3 5

• Задача 2 • Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. "А. выиграет оба раза" означает, что А. выиграет И первый раз, И второй раз. А поскольку гроссмейстеры меняют цвет фигур, то это событие можно описать и так "А. выиграет И белыми, И черными." Используем правило умножения в простой форме, потому что события независимы. P(A·B) = P(A) · P(B) 0,52 · 0,3 = 0,156. Ответ: 0,156 Замечание: Как мы можем судить о независимости событий? Вспоминаем всё, что знаем о самих событиях. В данном случае правила игры в шахматы таковы, что вторая партия начинается заново и её результат не зависит от исхода первой партии.

• Задача 3 • В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение События A = "кофе закончится в первом автомате" и B = "кофе закончится во втором автомате" не являются несовместимыми, так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми, так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нем закончится скорее.  По условию задачи P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12

• Способ I. Событие "кофе останется в обоих автоматах" противоположно событию "кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих". Найдем вероятность этого (противоположного) события по правилу сложения вероятностей для совместимых событий. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48 Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52

• Задача 5 Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение Вопрос задачи сформулирован так, что его легче осмыслить через противоположные события. Определим их вероятности. Пусть событие А = "сканер прослужит меньше года", его вероятность Р(А) = 1 − 0,98 = 0,02; событие В = "сканер прослужит меньше двух лет", его вероятность Р(В) = 1 − 0,87 = 0,13. Событие С = "сканер прослужит меньше двух лет, но больше года", о вероятности которого спрашивается в задаче, по существу означает, что сканер сломается на втором году службы. Один и тот же сканер не может сломаться одновременно и в первый, и во второй годы службы. Поэтому события А и С не совместимы, а событие В распадается на два случая: "сканер сломается на первом году службы" ИЛИ "сканер сломается на втором году службы". Таким образом, событие В является суммой двух несосвметимых событий А и C, к которым применима теорема сложения вероятностей (ИЛИ-правило): В = А + С P(B) = P(A) + P(C) 0,13 = 0,02 + P(C) P(C) = 0,13 − 0,02 = 0,11. Ответ: 0,11 Замечание:  0,98 − 0,87 = 0,11 тоже правильный ответ, и, если переформулировать вопрос задачи, тоже будет правильным решением.

• Задача 6 При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм. Решение Фраза "диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм", фактически, означает, что диаметр будет находиться в диапазоне от 68 − 0,01 = 67,99 мм  до 68 + 0,01 = 68,01 мм. Значит фраза "диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм" просто означает, что диаметр подшипника будет находиться за пределами этого диапазона. Таким образом речь идёт о противоположном событии, вероятность которого легко определить: 1 − 0,968 = 0,032. Ответ: 0,032

Задачи с использованием элементов комбинаторики • Задача 10 • В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. •    • Задача 11 • В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. •   • Задача 12 • В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз. • Задача 13 • В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. • Задача 14 • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. • Задача 15 • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Используемые источники • http:// mathematichka.ru/ege/problems/pro blem_B10P2.html • Сайт «Решу ОГЭ» математика