Презентация "Задачи по математике на применение банковских процентов"

Задачи по математике на применение банковских процентов Составитель: Мехонцева Марина Григорьевна,  учитель математики  МКОУ «Средняя общеобразовательная школа № 4» 1

1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)? 2

Решение Пусть X (рублей) - нужно платить ежегодно. • 1 год: В январе сумма долга составит 8052000*1,2 = 9662400. После 1 платежа сумма долга станет равна 9662400 - X. • 2 год: В январе сумма долга составит (9662400 - X)*1,2. После 2 платежа сумма долга станет равна (9662400 - X)*1,2 - X. • 3 год: В январе сумма долга составит ((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2. После 3 платежа сумма долга станет равна ((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2 - X. • 4 год: В январе сумма долга составит (((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2 - X)*1,2. После 4 платежа сумма долга станет равна (((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2 - X)*1,2 - X. • Так как кредит был погашен 4 равными платежами, то после 4 платежа долга не осталось, т.е. (((9662400 - X)*1,2 - X)*1,2 - X)*1,2 - X = 0. • Решим это уравнение и найдем X. ((9662400*1,2-1,2X - X)*1,2 - X)*1,2 - X = 0, (9662400*1,22 - 2,64X-X)*1,2 - X = 0, 9662400*1,23 - 4,368X - X = 0, 5,368X = 9662400*1,23, X = 3 110 400.   Ответ: 3 110 400. 3

2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей. Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)? 4

Решение Пусть в банке было взято X млн. руб. • 1 год: В январе сумма долга будет составлять 1,2 X. После 1 платежа сумма долга составит: 1,2 X - 2,16. • 2 год: В январе сумма долга будет составлять 1,2⋅(1,2X−2,16)=1,22⋅X−2,592. После 2 платежа сумма долга составит: 1,22⋅X−1,2⋅2,16−2,16=1,22⋅X−4,752. • 3 год: В январе сумма долга будет составлять 1,2⋅(1,22⋅X−4,752)=1,23⋅X−5,7024. После 3 платежа сумма долга составит: 1,23⋅X−5,7024−2,16=1,23⋅X−7,8624. • Так как кредит был погашен 3 равными платежами, то после 3 платежа долга не останется, т.е. То есть в банке было взято 4,55 млн. руб.   1,23⋅X−7,8624=0, 1,23⋅X=7,8624, X=4,55. Ответ: 4,55. 1/18/17 5

3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей. 1/18/17 6

Решение • 1 год: В январе сумма долга составит (1+a/100)⋅100000=100000+1000a(1+a/100)⋅100000=100000+1000a . После 1 платежа долг будет равен 100000+1000a−55000=45000+1000a. • 2 год: В январе сумма долга составит (1+a/100)⋅(45000+1000a). После 2 платежа долг будет равен (1+a/100)⋅(45000+1000a)−69000. Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть (1+a/100)⋅(45000+1000a)−69000=0, 45000+1000a+450a+10a2−69000=0, a2+145a−2400=0, a1=15, a2=−160. Искомое a = 15%.   1/18/17 Ответ: 15. 7

5. В июле планируется взять кредит на сумму 69 510 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)? 1/18/17 8

Решение • Рассмотрим сначала, сколько рублей нужно заплатить всего, если кредит будет погашен за 2 года. Пусть каждый год погашается X рублей. Тогда за 2 года всего банку будет уплачено 2X рублей. С другой стороны, после наценки 10% долг банку в первый год составит 69510*1,1 = 76461 рублей. • После уплаты за 1 год, останется сумма 76461 - X и на эту сумму будет снова начислено 10%. • За 2 год долг составит уже (76461 - X)*1,1 и эта сумма и будет выплачена во второй раз. • Так как долг был выплачен 2 равными платежами, то получаем уравнение: X+(76461 - X)*1,1 = 2X, 84107,1 = 2,1X, X = 40051. 10%.   • Всего за 2 года банку будет уплачено 2*40051 = 80102 рублей. • Теперь найдем, сколько рублей нужно заплатить всего, если кредит будет погашен за 3 года. Пусть каждый год погашается Y рублей. Тогда за 3 года всего банку будет уплачено 3Y рублей. После наценки 10% долг банку в первый год составит 69510*1,1 = 76461 рублей. • После уплаты за 1 год, останется сумма 76461 - Y и на эту сумму будет снова начислено 10%. • За 2 год долг составит уже (76461 - Y)*1,1. • После второй выплаты банку Y рублей, останется сумма (76461 - Y)*1,1 - Y, на которую будет начислено • За 3 год долг составит уже ((76461 - Y)*1,1 - Y)*1,1. Эта сумму и будет последним 3 платежом. • Так как долг был выплачен 3 равными платежами, то получаем уравнение: 2Y+((76461 - Y)*1,1 - Y)*1,1 = 3Y, 3,31Y = 92517,81, Y = 27951. • Всего за 3 года банку будет уплачено 3*27951 = 83853 рублей. 83853 - 80102 = 3751 рубль - искомая разница. • То есть, если погашать кредит 3 равными платежами, то придется заплатить на 3751 рубль больше, чем если погашать этот кредит 2 равными платежами. 1/18/17 9 Ответ: 3751.