Приемы устного счета на уроках математики

ПРИЕМЫ   УСТНОГО   СЧЕТА   НА   УРОКАХ МАТЕМАТИКИ       Цель   работы:    изучить     приемы   быстрого   счета   с   тем,   чтобы улучшить  технику вычислений учащихся 5 «б» и «г» классов. Гипотеза   исследования:  овладение   приемами   устного   счета позволит повысить качество и скорость вычислений учащихся. Для   овладения     новыми   приемами   счета   была   изучена   литература, проведен входной диктант   в 5х классах , и будет проведен в конце учебного года,   чтобы   проверить   выдвигаемую   гипотезу.   Для   этого   были   поставлены следующие задачи: 1. Изучить  литературные источники, в которых встречаются различные приемы быстрого счета; 2. Сделать   подборку   наиболее   распространенных   и   общедоступных приемов; 3. Провести пробный диктант в 5б и г  классах; 4. Познакомить   учащихся     с   приемами     быстрого   счета,   провести промежуточные диктанты, обучающие этим приемам; 5. По результатам   изученного   провести завершающий эксперимент и сравнить его данные с данными констатирующего эксперимента. 6. Сделать   вывод   о   подтверждении   или   опровержении   выдвинутой гипотезы.  В   пятом   классе     мы   изучаем     очень   важный   раздел   математики     ­ арифметику, основная наша задача – научиться быстро и правильно вычислять. Первые   математические   диктанты   показали,   что   вычисления   занимают   у учеников много времени, а при  увеличении объема вычислении  в ограниченный временной промежуток, в спешке делают массу ошибок. Причем  отмечено, что при  размеренной работе, когда дети не ограничены временем и могут выполнить проверку   на   черновике   с   помощью   письменных   вычислений     в   столбик   или уголком, то практически не допускают ошибок.   На уроках я показала детям несколько   приемов,   позволяющих   облегчить   выполнение     арифметических действий.  Исторические факты: Есть   люди,  умеющие  невероятно  быстро   вычислять   в  уме.  Они  могут мгновенно умножить 21734 на 543, запомнить идущие подряд 1000 цифр, знают наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, сразу отвечают, на какой  день недели приходится 21 марта 4871 года, и вообще делают то, что обыкновенному человеку так же трудно, как поднять штангу, на которой повисли несколько человек. Но некоторыми приемами, ускоряющими вычисления, может овладеть любой  человек.  В русской классической литературе немало примеров того, что  смекалка и   знание   арифметики   позволяют   решать     даже   сложные   задачи   без использования   алгебры.   А   в   бытовых     расчетах     знание   арифметики   просто необходимо. В   книгах   Я.И.   Перельмана   «Занимательная   арифметика»   и «Занимательная   алгебра»       рассказывается     об   одном   старинном   способе умножения. В старинной арифметике считалось что без знания таблицы умножения однозначных чисел   невозможно умножение многозначных чисел .Автор этого утверждения   наверное   не   был   знаком   со   способом   ,которым   пользовались русские крестьяне с глубокой древности. Сущность его в том , что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам  при одновременном  удвоении другого числа . Вот пример: 32*13 16*26 8*52 4*104 2*208 1*416 Деление   продолжают   до   тех   пор,   пока   в   частном   не   получится   1, параллельно   удваивая   другое   число.   Последнее   удвоенное   число   и   даёт искомый результат. Нетрудно понять, на чём основан этот способ : произведение не изменяется , если один множитель уменьшить вдвое , а другой – вдвое же увеличить . Ясно  поэтому , что в результате  многократного повторения  этой операции получается искомое произведение . Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число нечётное? Народный способ легко выходит из этого затруднения. Надо,   гласит   правило,   в   случае   нечётного   числа   откинуть   единицу   и делить остаток пополам ; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца , которые стоят против нечётных чисел  левого столбца – сумма и будет искомым произведением . Практически это  делают  так  , что  все  строки  с четными  левыми    числами  зачеркивают  ; остаются только те, которые содержат слева нечетное число. Приведем   пример   (косые   указывают,   что   данную   строку   надо зачеркнуть ) 19*17 9*34 4*68/ 2*136/ 1*272 Сложив  незачёркнутые  числа , получаем вполне правильный результат: 17 + 34 + 272 = 323. На чём основан этот приём ? Правильность приёма станет ясна , если принять во внимание что 19*17=(18+1)*17=18*17+17, 9*34=(8+1)*34=8*34+34 и т.д. Ясно, что числа 17, 34 , и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа   пополам,   необходимо   прибавить   к   результату   последнего   умножения, чтобы получить произведение. Этот способ умножения во всем мире называется «русским» или «русским крестьянским» способом умножения.  В   книгах   некоторых   современных   авторов     разобрано   множество способов быстрого счета. Например, «За страницами учебника математики» , И.Я.   Депман   и   Н.Я.   Виленкин;   «Система   быстрого   счета   по   Трахтенбергу», Катлер Э. и Мак­Шейн Р.; «Вечера занимательной арифметики», Котов А.Я.; «В царстве   смекалки»,   Игнатьев   Е.И.  и   др.   Способов   очень   много,   поэтому   ,  я выбрал самые , на мой взгляд, интересные и простые. Пусть, например, нужно умножить 26 на 11. Достаточно сложить цифры 2 + 6 =8 и поставить эту восьмерку между 2 и 6, чтобы сразу сказать ответ. При сложении может получиться и двузначное число, начинающееся с 1, тогда эту единицу  нужно   прибавить   к   цифре   десятков,  а  в  середину   вставлять   только цифру единиц суммы. Например, при умножении 75 на 11 складываем 7 и 5, получим 12, 1 прибавляем к 7, а 2 вставляем между 8 и 5. Получаем ответ 825.  Следующее равенство объясняет, на чем основан этот способ умножения: (10а+в)*11=110а+11в=100а+10(а+в)+в. Это   способ быстрого умножения на 11. Есть     замечательный   способ   возведения   в   квадрат   двузначных   чисел, оканчивающихся     цифрой   5.   Для   возведения   такого   числа   в   квадрат   надо умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и приписать результат – 25 после полученного произведения. Например, 35²=1225 (так как 3*4=12); 85²=7225 (так как 8*9=72). Вот еще некоторые приемы, позволяющие  увеличить скорость счета:                                                                                                                                                                        Квадрат двухзначных чисел, начинающихся с 5­ ти. Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся  на 5, надо: к 52=25 прибавить число единиц «а». К полученному числу приписать справа квадрат единиц. 1) 2) 562=(25+6)*(62)=3136     592=(25+9)*(92)=348 Возведение в квадрат двухзначных и трёхзначных чисел. ПРАВИЛО: умножают число десятков на число, на единицу больше, и к произведению приписывают 25. 752=(7*8) в конец произведения подписываем 25 =5625 Умножение на 11. Умножая двухзначное число на 11, надо между цифрами числа вписать  их сумму. 43*11=473 52*11=572…  Умножение на 9. При умножении на 9 поступают следующим образом: 47*9=47*10­47=470­47=423  СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЕРЕСТАНОВКОЙ СЛАГАЕМЫХ. 164+55+136+45+139=(164+136)+(55+45)+139=539 ПРИБАВИТЬ СУММУ. 187+(238+113)=187+238+113=(187+113)+238=538 ПРИБАВИТЬ РАЗНОСТЬ. 154+(98­54)=154+98­54=(154­54)+98=100+98= 198 РАЗЛОЖЕНИЕ СЛАГАЕМЫХ. 187+57=(187+13)+44=244 ОКРУГЛЕНИЕ УМЕНЬШАЕМОГО. 303­182=(300­182)+3=121 РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫЧИТАЕМОГО. 471­275=(471­271)­4=200­4=196 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ УМНОЖЕНИЕ. 28*12=28*3*2*2=336 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ. 168:12=(168:4):3=42:3= 14 УМНОЖЕНИЕ НА 25. При умножении чисел на 25, нужно число умножить на 100 и поделить на  4 (т.к. 25=100:4) 777*25=777*100:4=77700:4=19425 УМНОЖЕНИЕ НА 50. При умножении числа на 50 необходимо умножить его на100 и разделить  на 2 (т.к. 50=100:2)  352*50=352*100:2=35200:2=17600 ДЕЛЕНИЕ НА 50. При делении числа на 50 нужно число умножить на 2 и поделить на 100. 284:50=284*2:100=568:100=5, 68 ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3. Число делится на три если сумма цифр этого числа делится на 3. 4332:3=1444 ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАЗНОСТИ И СУММЫ ЧИСЕЛ 107*93 =(100+7)*(100­7)= 10000­47= 9953 или 79²­29²=(79­29)*(79+29)=50*108=5400 И др. Таким образом, приемы устного вычисления, используемые на уроках   математики,   способствуют   повышению   общего   уровня математического   развития;   развивают   у   учеников   навык   быстро выделять   из   известных   им   законов,   формул,   теорем   те,   которые следует   применить   для   решения   предложенных   задач,   расчетов   и вычислений; содействуют   развитию   памяти,   развивают   способность зрительного   восприятия   математических   фактов,   совершенствуют пространственное воображение.  Помимо   этого,   устный   счет   на   уроках   математики   играет немаловажную роль в повышении у детей познавательного интереса к урокам   математики,   как   одного   из   важнейших   мотивов   учебно­ познавательной деятельности, развития личностных качеств ребенка. Формируя   навыки   устных   вычислений,   учитель   тем   самым воспитывает у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого материала, приучает ценить и экономить время, развивает желание поиска   рациональных   путей   решения   задачи.   Иными   словами формируются познавательные, включая логические, познавательные и знаково­символические, универсальные учебные действия. Цели  и задачи школы  кардинально  меняются,  осуществляется переход   от   знаниевой   парадигмы   к   лично­ориентированному обучению.   Потому   важно   не   просто   учить   решать   задачи   по математике,   а   показывать   действие   основных   математических законов   в   жизни,   объяснять,   как   может   учащийся   применить полученные знания. И тогда у детей появится главное: желание и смысл учиться.