Технологии применения приемов устного счета
на уроках математики в 5 классе
Предполагаемый результат:
для меня 1) развитие познавательного интереса к математике
2) экономия времени
для детей 1) повышение культуры математических вычислений
2) в дальнейшем поможет полноценно усваивать предметы физико- математического цикла
3) развитие памяти
4) логическое, творческое мышление
5) достижение каждым учеником оптимально возможного уровня математического развития
Результат: прочные вычислительные навыки и умения
ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА НА УРОКАХ
МАТЕМАТИКИ
Цель работы: изучить приемы быстрого счета с тем, чтобы
улучшить технику вычислений учащихся 5 «б» и «г» классов.
Гипотеза исследования: овладение приемами устного счета
позволит повысить качество и скорость вычислений учащихся.
Для овладения новыми приемами счета была изучена литература,
проведен входной диктант в 5х классах , и будет проведен в конце учебного
года, чтобы проверить выдвигаемую гипотезу. Для этого были поставлены
следующие задачи:
1. Изучить литературные источники, в которых встречаются различные
приемы быстрого счета;
2. Сделать подборку наиболее распространенных и общедоступных
приемов;
3. Провести пробный диктант в 5б и г классах;
4. Познакомить учащихся с приемами быстрого счета, провести
промежуточные диктанты, обучающие этим приемам;
5. По результатам изученного провести завершающий эксперимент и
сравнить его данные с данными констатирующего эксперимента.
6. Сделать вывод о подтверждении или опровержении выдвинутой
гипотезы.
В пятом классе мы изучаем очень важный раздел математики
арифметику, основная наша задача – научиться быстро и правильно вычислять.
Первые математические диктанты показали, что вычисления занимают у
учеников много времени, а при увеличении объема вычислении в ограниченный
временной промежуток, в спешке делают массу ошибок. Причем отмечено, что
при размеренной работе, когда дети не ограничены временем и могут выполнить
проверку на черновике с помощью письменных вычислений в столбик или
уголком, то практически не допускают ошибок. На уроках я показала детям
несколько приемов, позволяющих облегчить выполнение арифметических
действий.
Исторические факты:
Есть люди, умеющие невероятно быстро вычислять в уме. Они могут
мгновенно умножить 21734 на 543, запомнить идущие подряд 1000 цифр, знают
наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, сразу отвечают, на какой деньнедели приходится 21 марта 4871 года, и вообще делают то, что обыкновенному
человеку так же трудно, как поднять штангу, на которой повисли несколько
человек. Но некоторыми приемами, ускоряющими вычисления, может овладеть
любой человек.
В русской классической литературе немало примеров того, что смекалка
и знание арифметики позволяют решать
даже сложные задачи без
использования алгебры. А в бытовых расчетах знание арифметики просто
необходимо.
В книгах Я.И.
Перельмана «Занимательная арифметика» и
«Занимательная алгебра» рассказывается об одном старинном способе
умножения.
В старинной арифметике считалось что без знания таблицы умножения
однозначных чисел невозможно умножение многозначных чисел .Автор этого
утверждения наверное не был знаком со способом ,которым пользовались
русские крестьяне с глубокой древности.
Сущность его в том , что умножение любых двух чисел сводится к ряду
последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении
другого числа . Вот пример:
32*13
16*26
8*52
4*104
2*208
1*416
Деление продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1,
параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и даёт
искомый результат. Нетрудно понять, на чём основан этот способ : произведение
не изменяется , если один множитель уменьшить вдвое , а другой – вдвое же
увеличить . Ясно поэтому , что в результате многократного повторения этой
операции получается искомое произведение .
Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам число
нечётное?
Народный способ легко выходит из этого затруднения.
Надо, гласит правило, в случае нечётного числа откинуть единицу и
делить остаток пополам ; но зато к последнему числу правого столбца нужно
будет прибавить все те числа этого столбца , которые стоят против нечётных
чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением . Практически
это делают так , что все строки с четными левыми числами зачеркивают ;
остаются только те, которые содержат слева нечетное число.
Приведем пример (косые указывают, что данную строку надо
зачеркнуть )19*17
9*34
4*68/
2*136/
1*272
Сложив незачёркнутые числа , получаем вполне правильный результат:
17 + 34 + 272 = 323.
На чём основан этот приём ?
Правильность приёма станет ясна , если принять во внимание что
19*17=(18+1)*17=18*17+17,
9*34=(8+1)*34=8*34+34 и т.д.
Ясно, что числа 17, 34 , и т. п., утрачиваемые при делении нечетного
числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения,
чтобы получить произведение. Этот способ умножения во всем мире называется
«русским» или «русским крестьянским» способом умножения.
В книгах некоторых современных авторов
разобрано множество
способов быстрого счета. Например, «За страницами учебника математики» ,
И.Я. Депман и Н.Я. Виленкин; «Система быстрого счета по Трахтенбергу»,
Катлер Э. и МакШейн Р.; «Вечера занимательной арифметики», Котов А.Я.; «В
царстве смекалки», Игнатьев Е.И. и др. Способов очень много, поэтому , я
выбрал самые , на мой взгляд, интересные и простые.
Пусть, например, нужно умножить 26 на 11. Достаточно сложить цифры
2 + 6 =8 и поставить эту восьмерку между 2 и 6, чтобы сразу сказать ответ. При
сложении может получиться и двузначное число, начинающееся с 1, тогда эту
единицу нужно прибавить к цифре десятков, а в середину вставлять только
цифру единиц суммы. Например, при умножении 75 на 11 складываем 7 и 5,
получим 12, 1 прибавляем к 7, а 2 вставляем между 8 и 5. Получаем ответ 825.
Следующее равенство объясняет, на чем основан этот способ умножения:
(10а+в)*11=110а+11в=100а+10(а+в)+в.
Это способ быстрого умножения на 11.
Есть замечательный способ возведения в квадрат двузначных чисел,
оканчивающихся цифрой 5. Для возведения такого числа в квадрат надо
умножить цифру десятков на следующую за ней цифру, а 5 возвести в квадрат и
приписать результат – 25 после полученного произведения. Например, 35²=1225
(так как 3*4=12); 85²=7225 (так как 8*9=72).
Вот еще некоторые приемы, позволяющие увеличить скорость счета:
Квадрат двухзначных чисел, начинающихся с 5
ти.
Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся на 5, надо:к 52=25 прибавить число единиц «а».
К полученному числу приписать справа квадрат единиц.
1)
2)
562=(25+6)*(62)=3136
592=(25+9)*(92)=348
Возведение в квадрат двухзначных и трёхзначных чисел.
ПРАВИЛО: умножают число десятков на число, на единицу больше, и к
произведению приписывают 25.
752=(7*8) в конец произведения подписываем 25 =5625
Умножение на 11.
Умножая двухзначное число на 11, надо между цифрами числа вписать
их сумму.
43*11=473
52*11=572…
Умножение на 9.
При умножении на 9 поступают следующим образом:
47*9=47*1047=47047=423
СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ С ПЕРЕСТАНОВКОЙ СЛАГАЕМЫХ.
164+55+136+45+139=(164+136)+(55+45)+139=539
ПРИБАВИТЬ СУММУ.
187+(238+113)=187+238+113=(187+113)+238=538
ПРИБАВИТЬ РАЗНОСТЬ.
154+(9854)=154+9854=(15454)+98=100+98= 198
РАЗЛОЖЕНИЕ СЛАГАЕМЫХ.
187+57=(187+13)+44=244
ОКРУГЛЕНИЕ УМЕНЬШАЕМОГО.
303182=(300182)+3=121
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫЧИТАЕМОГО.
471275=(471271)4=2004=196
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ УМНОЖЕНИЕ.
28*12=28*3*2*2=336ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ.
168:12=(168:4):3=42:3= 14
УМНОЖЕНИЕ НА 25.
При умножении чисел на 25, нужно число умножить на 100 и поделить на
4 (т.к. 25=100:4)
777*25=777*100:4=77700:4=19425
УМНОЖЕНИЕ НА 50.
При умножении числа на 50 необходимо умножить его на100 и разделить
на 2 (т.к. 50=100:2)
352*50=352*100:2=35200:2=17600
ДЕЛЕНИЕ НА 50.
При делении числа на 50 нужно число умножить на 2 и поделить на 100.
284:50=284*2:100=568:100=5, 68
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3.
Число делится на три если сумма цифр этого числа делится на 3.
4332:3=1444
ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАЗНОСТИ И СУММЫ ЧИСЕЛ
107*93 =(100+7)*(1007)= 1000047= 9953
или
79²29²=(7929)*(79+29)=50*108=5400
И др.
Таким образом, приемы устного вычисления, используемые на
уроках математики, способствуют повышению общего уровня
математического развития; развивают у учеников навык быстро
выделять из известных им законов, формул, теорем те, которые
следует применить для решения предложенных задач, расчетов и
вычислений; содействуют развитию памяти, развивают способностьзрительного восприятия математических фактов, совершенствуют
пространственное воображение.
Помимо этого, устный счет на уроках математики играет
немаловажную роль в повышении у детей познавательного интереса к
урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно
познавательной деятельности, развития личностных качеств ребенка.
Формируя навыки устных вычислений, учитель тем самым
воспитывает у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого
материала, приучает ценить и экономить время, развивает желание
поиска рациональных путей решения задачи. Иными словами
формируются познавательные, включая логические, познавательные и
знаковосимволические, универсальные учебные действия.
Цели и задачи школы кардинально меняются, осуществляется
переход от знаниевой парадигмы к личноориентированному
обучению. Потому важно не просто учить решать задачи по
математике, а показывать действие основных математических
законов в жизни, объяснять, как может учащийся применить
полученные знания. И тогда у детей появится главное: желание и
смысл учиться.