Прикладная математика

Программа занятий клуба  «Прикладная математика» В настоящее время имеется несколько экспериментальных программ по прикладной математике  для разных классов и разных профилей. Прежде чем перейти к изложению нашей программы, сделаем некоторые пояснения и уточнения. Во­первых, прикладная математика ­ чрезвычайно обширная отрасль математической науки и  даже вкратце рассмотреть ее разделы в школьном интегрированном курсе невозможно. Отбор  нужных разделов прикладной математики зависит от профиля обучения в старшем звене. Так, в  экономических, биологических, гуманитарных и других классах должны быть представлены разделы,  напрямую связанные с соответствующими предметными областями: экономикой, физикой, биологией,  лингвистикой и т.д. Что же касается классов с углубленным изучением математики и информатики, то  здесь должны быть выбраны базовые вопросы прикладной математики. В таких классах важно не  столько обучать конкретным алгоритмам решения определенного класса прикладных задач (хотя в  определенной мере это должно присутствовать), сколько показать учащимся математические  основания построения и исследования методов прикладной математики, вопросов математического  моделирования и проектирования, компьютерного эксперимента, анализа результатов и т.д. Иными  словами, старшеклассники математических классов должны изучать разделы и методы прикладной  математики, являющиеся инвариантной частью всевозможных специальных курсов. Во­вторых, в научных публикациях по­разному определяется объем понятия «прикладная  математика». Некоторые авторы отождествляют прикладную математику и численные методы. Такой  подход нам представляется чересчур односторонним. Согласно другой точке зрения, в прикладную  математику включены численные методы и компьютерная алгебра. В последнее время, однако, быстро прогрессирует еще один раздел прикладной математики ­ компьютерная геометрия. Не вдаваясь в  научно­методологические тонкости взаимоотношений компьютерной геометрии с другими разделами  прикладной математики, отметим, что для нас удобно разделение курса прикладной математики на  численные методы, компьютерную алгебру и компьютерную геометрию.  Основные цели курса прикладной математики: 1) углубление представлений о понятии величины; 2) выявление математической сущности понятий, употребляемых в практических задачах; 3) формирование приемов математического моделирования практических задач; Можно распределить по годам обучения: 8 класс (34 часа) ­ приближенные вычисления, системы счисления, понятие математического  моделирования, алгоритмы целочисленной арифметики; 9 класс (68 часов) ­ логические основы функционирования ЭВМ, теория множеств, элементы  комбинаторики; 10 класс (68 часов) ­ матрицы и определители, численное решение алгебраических уравнений,  теория вероятностей и математическая статистика, спецкурс по выбору преподавателя; 11 класс (68 часов) ­ основные интерполяционные формулы, численные методы  дифференцирования и интегрирования; дифференциальные уравнения. СОДЕРЖАНИЕ курса. Теория множеств. Понятие множества. Подмножества. Операции над множествами. Законы алгебры множеств.  Отношения. Отношения эквивалентности и порядка. Декартово произведение множеств. Теория  множеств и функции. Понятие о нечетких множествах. Системы счисления. Системы с различными основаниями. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.  Двоичные системы счисления и ЭВМ. Теория погрешностей. Понятие погрешности. Виды погрешностей (неточность измерения, погрешность метода,  погрешность вычислений). Абсолютная и относительная погрешности. Прямая и обратная задачи  теории погрешностей. Погрешность суммы, разности, произведения и частного. Округление чисел в  ЭВМ. Накопление погрешностей. Математическая логика. Высказывания. Операции над высказываниями (дизъюнкция, конъюнкция, импликация,  эквиваленция, отрицание, штрих Шеффера и стрелка Пирса), сведение одних операций к другим.  Истинностные таблицы. Законы исчисления высказываний и их связь с законами теории множеств.  Формулы исчисления высказываний и принцип двойственности. Дизъюнктивные и конъюнктивные  нормальные формы и их применение для синтеза схем. Введение в исчисление предикатов. Понятие о  к­значной, счетнозначной и континуумзначной логике. Информация и ее кодирование. Информация. Задачи теории информации. Количество информации и энтропия. Характеристики сигнала. Проблемы описания информационных объектов. Этапы кодирования и декодирования. Вид  кодирования. Теоремы Шеннона. Теория графов. Понятие графа. Виды графов. Геометрическое представление конечных графов. И­или­граф и  его значение в информатике. Деревья, их виды. Иерархическая структура. Сеть как обобщение  понятия графа. Сеть Петри в информатике. Теория алгоритмов и логические основы ЭВМ. Основные понятия теории алгоритмов. Свойства алгоритмов. Линейный алгоритм, ветвление,  цикл. Рекурсивные функции. Вычислимые функции. Суперпозиция, примитивная рекурсия и  минимизация. Машинные коды и их преобразование. Машина Тьюринга. Нормальный алгоритм  Маркова. Основные понятия теории языков и формальных грамматик. Введение в теорию автоматов.  Логические структуры ЭВМ. Способы представления алгоритмов в ЭВМ. Языки программирования как  методы кодирования алгоритмов. Теория матриц. Матрица, ее элементы. Виды матриц. Транспонированная и обратная матрицы. Действия над  матрицами. Свойства матриц. Определитель матрицы, способы его вычисления. Миноры и  алгебраические дополнения. Матричная запись систем уравнений. Нахождение обратной матрицы.  Действия с n­мерными массивами. Решение алгебраических уравнений и их систем. а) линейные системы уравнений. Классификация методов решения (точные методы, методы последовательных приближений).  Сущность точных методов (метод квадратного корня, ортогонализация или окаймление). Методы  Гаусса и Крамера, реализация их на компьютере. Итерационные методы, рассмотрения одного из них  (например, метода Зейделя или метода наискорейшего спуска), простота их реализации на ЭВМ.  Понятие о сходимости методов. б) нелинейные уравнения. Постановка задачи и выбор корней. Метод деления отрезка пополам, метод простой итерации,  их реализация на ЭВМ. в) системы нелинейных алгебраических уравнений. Постановка задачи. Метод простой итерации. Интерполирование. Обобщенный многочлен и система функций Чебышева. Постановка задачи интерполирования.  Алгебраическое, тригонометрическое и экспотенциальное интерполирование. Рассмотрение одного из алгебраических методов интерполирования на ЭВМ (например, полинома Лагранжа). Численное дифференцирование и интегрирование. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора. Подходы к численному дифференцированию функции в точке. Постановка задачи численного интегрирования. Правило трапеций, правило  Симпсона, их реализация на ЭВМ. Численное решение дифференциальных уравнений. Постановка задачи Коши. Нахождение частного решения дифференциального уравнения одним из методов (например, методом ломаных (Эйлера)). Комбинаторика. Основные понятия. Перестановки. Размещения. Сочетания. Бином Ньютона. Теория вероятностей и математическая статистика. События. Виды случайных событий. Вероятность события. Геометрические вероятности.  Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула  Бейеса. Случайные величины. Дискретные и непрерывные величины. Распределение случайной  величины, график функции распределения. Числовые характеристики случайных величин  (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение). Различные виды  распределения, нормальное распределение. Основные задачи математической статистики. Задачи компьютерной геометрии. Ближайшие точки. Изображения n­мерных объектов на экране дисплея. Конструирование и  движение геометрических объектов. Распознавание образов. Диаграммы Воронова. Задачи  начертательной геометрии. Фракталы. Сети Штеннера. Элементы теории протекания и т.д. Математическое программирование и теория принятия решений. Исследование операций (принятие решений). Задачи целочисленного программирования.  Линейное программирование. Квадратичное программирование. Многокритериальные задачи (задачи  оптимизации). Стохастические задачи (на примере систем массового обслуживания). Имитационное  моделирование. Основные задачи теории групповых решений и теории игр. Задачи прогнозирования. Математическое моделирование и компьютерное программирование. Понятие модели. Виды моделей. Методика построения моделей. Корректность моделей. Выбор  методов при составлении алгоритмов. Выбор языка программирования. Вычислительный эксперимент  и его анализ.