Приложение 3 (4)

Приложение 3

Решение задач ( объяснение)

На рисунке представлена схема электрической цепи.

Для ее расчета, т.е. для определения токов во всех ее ветвях, необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соответствовать числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.

Давайте посчитаем количество ветвей в нашей электрической цепи.

Получилось пять ветвей, а значит и пять неизвестных токов I₁, I₂, I₃, I₄и I₅ (токам пока не задано направление).

По первому закону Кирхгофа

составляется число уравнений, на единицу меньшее числа узлов цепи, поскольку уравнение для последнего узла есть следствие всех предыдущих уравнений и не дает ничего нового для расчета.

Посчитаем количество узлов электрической цепи.

В цепи три узла, значит по 1-му закону Кирхгофа надо составить (3 – 1 = 2) два уравнения.

По второму закону Кирхгофа составляются все недостающие уравнения для любых произвольно выбранных контуров цепи.

Посчитаем количество недостающих уравнений: 5– 2 = 3.

В нашем примере по II закону Кирхгофа надо составить три уравнения.

Предварительно следует задаться (произвольно)направлением токов во всех ветвях цепи и направлением обхода выбранных контуров.

Заметим, что произвольность выбора направлений токов в ветвях цепи и направлений обхода контуров не влияет на конечный результат расчета. Если в результате расчетов некоторые из найденных токов будут иметь знак (–), то это будет означать, что их истинное направление противоположно предварительно принятому.

Зададим направление токов во всех ветвях цепи.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, подходящие к узлу, будем считать положительными и брать со знаком (+), а токи,отходящие от узла – отрицательными и брать со знаком (–).

По I закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Для этого выберем любые два узла цепи.Например, первый и второй.

Узел 1: –I₁ – I₃ – I₄ = 0

Узел 2: I₁ – I₂ + I₄ + I₅ = 0

Зададим направление обхода выбранных контуров.

При составлении уравнений по II закону Кирхгофа ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура будем брать со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).

Контур I: I₁R₁ – I₄R₄ = E₁

Контур II: I₄R₄ – I₅R₅ – I₃R₃= E₃

Контур III: I₂R₂ + I₄R₄ = –E₂

Запишем систему уравнений.

–I₁ – I₃ – I₄ = 0

I₁ – I₂ + I₄ + I₅ = 0

I₁R₁ – I₄R₄ = E₁

I₄R₄ – I₅R₅ – I₃R₃= E₃

I₂R₂ + I₄R₄ = –E₂

Решим полученную систему уравнений и определим токи во всех пяти ветвях этой цепи.

Выводы.

Количество уравнений по законам Кирхгофа =количество неизвестных токов цепи, т.е.количеству ветвей цепи.

1. Количество уравнений по I закону Кирхгофа = количество узлов цепи – 1.
2. Количество уравнений по II закону Кирхгофа = общее количество уравнений – количество уравнений по I закону Кирхгофа.
3. Для уравнений по I закону Кирхгофа: токи входящие в узел записываются со знаком (+), а выходящие – со знаком (–).
4. Для уравнений по II закону Кирхгофа: ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура записываются со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).