Применение математических знаковых моделей при решении практических задач

Применение математических знаковых моделей при решении практических задач

Герасимов И. Д., Магафуров А. Ф., Строганов А. И.  обучающиеся ГАПОУ ЧО «Политехнический колледж»

Руководитель: Ларкина Е.В., преподаватель

В современных условиях, когда у каждого человека есть доступ к любой информации, возможность автоматизировать расчеты с любой математической сложностью, создается впечатление о необязательности приобретения умений в преобразовании математических выражений. Однако, подобные мнения являются ошибочными. Если рассмотреть историю значимых научных открытий, то можно убедиться в том, что не знание математического аппарата значительно бы усложнило решение практических задач. В данной статье рассмотрим один из примеров применения математических знаковых моделей для упрощения рассуждений, понимания, поиска выхода из проблемной ситуации при решении практической задачи, открывшей новые возможности для человека.

Значимость знаковых моделей для развития научно-технического прогресса можно проследить на основе истории введения и употребления знаков.

С древних времен алгебраические утверждения было принято выражать в геометрической форме длины, площади, объема. Сложные формулы записывались словами, так как нельзя было складывать разные размерности и находить произведение более трех множителей. И только с подачи французского математика Ф. Виетта (конец XVI в.) входит в употребление буквенная символика без конкретного смысла о величинах, заданных в символах. В данном случае основной целью изучения операций над произвольными объектами (не только числами) становится установление законов, которым подчиняются эти операции.

Потребности физических наук в количественных значениях меняющихся процессах (равноускоренное движение) повлияли на развитие математического аппарата (математического анализа). Основными понятиями математического анализа являются: дифференциальное исчисление (производная), интегральное исчисление (интеграл), дифференциальные уравнения. Причем, дифференциальное уравнение является математическим способом записи гипотезы (предположение), основанной на физическом эксперименте. Полученное решение дифференциального уравнения может получить физическое толкование, что будет способствовать выводу по решаемой практической ситуации. Изучать явления природы с помощью математических знаковых моделей предложил Г. Галилей, затем данный подход развивал И. Ньютон. [4]

Примером как знаковая модель помогла в решении практической задачи является становление теории электромагнитного поля.

В XIX веке существовало две теории электричества:

¾              Теория «дальнодействия», разработанная французами Кулоном, Ампером, Био, Саваром, Араго и Лапласом, согласно которой одно тело мгновенно воздействует на другое на расстоянии без помощи какой-либо промежуточной среды.

¾              Теория «силовых линей» Фарадея. Фарадей предполагал, что мгновенная передача действия на расстоянии от одного тела к другому возможна лишь посредством материальной среды (поля).

Фарадей установил в ходе экспериментов влияние магнита на токи. После длительных экспериментов, в 1831 году, Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток. Это явление было названо электромагнитной индукцией.

Экспериментальные исследования Фарадея заинтересовали Максвелла своими новыми прогрессивными физическими воззрениями. Существование электродинамической среды, возникающей вокруг электрического тока, явилось новым понятием физики.

В своем «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) Максвелл писал, что метод понимания явлений, описанных Фарадеем, может быть представлен в форме математических символов и записал уравнения, которым должна подчиняться среда, определяющая взаимодействие зарядов и токов и существующая даже в их отсутствие. [1]

Согласно физическому смыслу уравнений Максвелла следует, что силовые линии магнитного поля не кончаются нигде – они замкнуты сами на себе.

Полученные уравнения были просты. И чем больше Максвелл работал над ними, тем больший внутренний смысл обнаруживался в них. Изучая, систему своих уравнений Максвелл установил, что электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют электромагнитное поле. Электромагнитное поле распространяется в виде волны со скоростью света  (рис. 1).

Рисунок 1 – Электромагнитная волна

Следствие из уравнений Максвелла: для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, векторы напряженностей  переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению: [2]

 и

Учитывая поперечность электромагнитных волн, данные уравнения могут быть записаны в виде:

 и

Известно, что нетривиальным решением дифференциального уравнения

является функция, описывающая электромагнитную волну

.

Этот вывод и теоретические исследования электромагнитных волн привели к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны. Позднее немецкий физик Г. Герц экспериментально получил электромагнитные волны. Так экспериментально была подтверждена теория Максвелла.

Различают электромагнитные волны по виду излучения (таб. 1) (рис. 2):

Таблица 1. Диапазоны электромагнитных волн [2]

Рисунок 2 – Шкала электромагнитных волн

Жизнь любого человека связана с электромагнитными волнами. Причем, электромагнитные волны применяются во всех областях науки и техники. Перечислим некоторые из них.

С помощью радиоволн осуществляется передача на расстояние звуковых сигналов, изображений, телеметрической информации со спутников.

Впервые в 1895 году на заседании Русского физико-математического общества Поповым А.С. была продемонстрирована возможность применения электромагнитных волн. Так появление беспроволочной связи открыло новую страницу истории технических возможностей человека. [2]

В настоящее время невозможно себе представить современный морской флот, авиацию и космонавтику без способности проведения радиолокации. [3]

Вокруг нас все тела, антенны передатчиков и Солнце излучают электромагнитные волны разной длины.

Длинные волны (10000 м – 1000 м) за счет дифракции распространяются далеко за пределы видимого горизонта и применяются для радиопередачи на большие расстояния. [3]

Средние волны (1000 м- 100 м) испытывают меньшую дифракцию у поверхности Земли и применяются в фототелеграфии. [3]

Короткие волны (100 м – 10 м) еще менее способны к дифракции у поверхности Земли. Однако, их можно принять в любой точке на поверхности Земли, что объясняется способностью этих волн отражаться от ионосферы (50 км от поверхности Земли). Короткие волны обеспечивают устойчивую радиосвязь между удаленными пунктами. [3]

Ультракороткие волны (< 10 м) не отражаются ионосферой и не огибают поверхность Земли в результате дифракции. Связь на ультракоротких волнах осуществляется только в пределах прямой видимости антенны передатчика. Эти волны, встречая на своем пути преграды, отражаются от них. Это явление лежит в основе радиолокации – обнаружения предметов. [3]

Электромагнитные волны успешно используются в медицине при лечении различных заболеваний. Так существует целое направление в медицине – физиотерапия. [3]

При острых воспалительных процессах применяют УВЧ-прибор, генерирующий электромагнитные волны ультравысокой частоты с короткой длинной волны. Ткани нашего организма поглощают эти волны и преобразуют их в тепловую энергию. В результате ускоряется процесс выздоровления. [3]

Любые тела являются источником инфракрасного излучения. Источниками мощного инфракрасного излучения служат печи, батареи водяного отопления, электрические лампы накаливания. Инфракрасное излучение используется для сушки окрашенных изделий, стен зданий, древесины. Известно, что люди и животные тоже являются источниками инфракрасного излучения с гораздо меньшей интенсивностью. Данное явление лежит в основе работы специальных приборов, которые инфракрасное излучение преобразуют в видимый свет, что позволяет получить изображение предметов в полной темноте. [3]

Электромагнитные волны с длиной волны 770 нм – 380 нм, от красного и фиолетового света относятся к видимому свету. Это тот свет, который является обязательным условием для развития жизни на Земле. Именно эти электромагнитные волны способствуют развитию зеленых растений. И человек с помощью этого участка спектра электромагнитных излучений получает информацию об окружающем мире. [3]

Способность ультрафиолетового излучения убивать болезнетворные бактерии широко применяют в медицине. В качестве источников ультрафиолетового излучения в медицине используются газоразрядные лампы. Трубки таких ламп изготавливают из кварца, прозрачного для ультрафиолетовых лучей, поэтому эти лампы называются кварцевыми. [3]

Рентгеновские лучи способны проникать через толстые слои вещества. Это явление применяется для диагностики заболеваний внутренних органов человека. А также рентгеновское излучение обладает сильным биологическим действием, поэтому используется для лечения некоторых заболеваний. К тому же рентгеновские лучи применяются для контроля внутренней структуры различных изделий, например, сварных швов. [3]

Гамма-излучение имеет огромную проникающую способность, оказывает сильное биологическое воздействие. Его применяют в медицине, производстве.

Таким образом, способность электромагнитных волн проникать в вещество и оказывать воздействие (разогревать живую ткань), как можно видеть из примеров, широко используется на практике.

Следует заметить, что электромагнитные волны преимущественно влияют на функциональное состояние нервной и сердечно-сосудистой системы. Конечно, степень физиологического воздействия на организм человека зависит от интенсивности, длительности и диапазона облучения. [3]

Легкая степень воздействия приводит к повышенной утомляемости, головной боли, сонливости, иногда раздражительности, временами покалыванию в области сердца. Данные проявления могут быть зафиксированы при медицинских обследованиях: четко выраженные изменения функций сердечно-сосудистой и нервной систем (пульс, давление, рефлексы и др.), иногда отмечаются некоторые увеличения щитовидной железы, изменение состава крови. [3]

Исходя из существующих негативных воздействий электромагнитных волн на организм человека, на практике разрабатывается и применяется система мер для защиты. Так, например, экранирование рабочих мест или зон обслуживания, использование средств индивидуальной защиты. Данные меры основаны на особенности электромагнитных волн радиочастот задерживаться металлом, обладающим хорошей электропроводимостью, что позволяет использовать его для защиты человека от их воздействия. [3]

Электромагнитные волны нужны и полезны. Трудно себе представить современный мир без тех возможностей, которые люди приобрели с открытием и применением электромагнитных волн.

Таким образом, современный человек должен знать и стремиться узнать закономерности и их преобразования, описывающие законы природы, уже определенные учеными. Кроме того, с момента значимых открытий наука продвинулась далеко вперед и чтобы не отставать от своего времени нужно изучать новые научные теории, которые записываются с помощью знаковых математических моделей.

Библиографический список

1.                 Лисичко, Е.В. Система уравнений Максвелла / Е.В. Лисичко // Томский политехнический университет : [сайт] – 2020. – URL:  – http://portal.tpu.ru/SHARED/e/ELENALIS/rabota/Tab2/Lk16el.pdf (дата обращения: 23.12.19).

2.                 Трофимова, Т.И. Курс физики : учебное пособие для вузов / Т.И. Трофимова. – Москва : Издательский центр «Академия», 2008. – 560с. – ISBN 978-5-7695-4956-4.

3.                 Факультативы по темам : Тема 11. Колебательные и волновые явления // Физика.ru : [сайт] – 2017. – URL:  – http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=11&id=11222? (дата обращения: 23.01.20).

4.                 Энциклопедический словарь юного математика / Составитель А.П. Савин. – Москва : Педагогика-Пресс, 1999. – 360с. – ISBN 5-7155-0700-6.

5.                  Скачано с www.znanio.ru