ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА

Применение теоремы Виета
и обратной ей теоремы

Цели: продолжить формирование умения применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых и не приведённых квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Убедитесь, что уравнение имеет корни и назовите их сумму и произведение:

а) х² – 12х – 45 = 0;                               д) х² – 27х = 0;

б) у² + 17у + 60 = 0;                              е) 60z + z² = 0;

в) 3у – 40 + у² = 0;                                 ж) 3х² – 15х + 18 = 0;

г) х² – 2х + 16 = 0;                                 з) х² + х + 8 = 0.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х² – 3х – 18 = 0; х₁ = –3;

б) 2х² – 5х + 2 = 0; х₁ = 2.

2. Какое  число  надо  подставить  вместо  а,  чтобы  корнями  уравнения х² – ах + 6 = 0 были бы числа 2 и 3?

В а р и а н т  2

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х² – 4х – 21 = 0; х₁ = –3;

б) 2х² – 7х + 6 = 0; х₁ = 2.

2. Какое  число  надо  подставить  вместо  а,  чтобы  корнями  уравнения х² – 5х + а = 0 были бы числа 2 и 3?

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

На первых порах учащимся может быть трудно подбирать корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни уравнения и записывать соответствующие равенства.

Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем с оценивания произведения корней, то есть находим делители свободного члена квадратного уравнения.

1. № 586.

Р е ш е н и е

Пусть х₁ = 12,5 и х₂ – корни уравнения х² – 13х + q = 0,

тогда х₁ + х₂ = 13  и  х₁ · х₂ = q.

Имеем 12,5 + х₂ = 13,  значит, х₂ = 13 – 12,5,  х₂ = 0,5.

Тогда 12,5 · 0,5 = q,  q = 25.

О т в е т: х₂ = 0,5; q = 25.

2. № 587.

Р е ш е н и е

Пусть х₁ = 8 и х₂ – корни уравнения 5х² + bx + 24 = 0,

тогда х₁ + х₂ = –, х₁ ∙  х₂ = .

Имеем 8 ∙  х₂ = , значит, х₂ = .

Тогда 8 +  = –,   8,6 = –0,2 ∙  b,   b = –43.

О т в е т: х₂ = 0,6; b = –43.

3. № 589, № 590 – самостоятельно.

4. № 593 (а), № 594 (а, д, е), № 595 (б, д, е).

5. № 675.

После выполнения этого упражнения можно рассмотреть с учащимися два способа нахождения корней квадратного уравнения, вытекающие из теоремы Виета.

1-й  с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х₁ = 1, х₂ = .

2-й  с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту b, то х₁ = –1, х₂ = –.

В буквенном виде это может быть записано так:

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задачи повышенной трудности.

№ 591.

Р е ш е н и е

Пусть х₁, х₂ – корни уравнения х² + 2х + q = 0.

По теореме Виета: х₁ + х₂ = –2 (1) и х₁ · х₂ = q (2).

По условию  = 12. (Через х₁ обозначим больший корень.) Значит, по формуле сокращенного умножения:

(х₁ – х₂) (х₁ + х₂) = 12;

(х₁ – х₂) · (–2) = 12;

х₁ – х₂ = –6;

х₁ = х₂ – 6.

Подставим в первое равенство вместо х₁ его значение:

х₂ – 6 + х₂ = –2;

2х₂ = 4;

х₂ = 2.

Вычислим х₁ = 2 – 6 = –4.

Из второго равенства найдём q = –4 · 2, q = 8.

О т в е т: q = 8.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему.

– Если коэффициент с квадратного уравнения является положительным числом, то какими по знаку могут быть его корни? А если с – отрицательное число?

– Какие корни имеет квадратное уравнение, если сумма его коэффициентов равна нулю? а + с = b?

Домашнее  задание:  № 585,  № 588,  № 594  (б, в, г),  № 595  (а, в, г), № 592*.